|
TLG 5021 001 :: SCHOLIA IN DIOPHANTUM :: Scholia in Diophanti arithmetica (scholia recentiora e codd. Matr. Bibl. Nat. 4678; Vat. gr. 191 et 304) SCHOLIA IN DIOPHANTUM Schol. Scholia in Diophanti arithmetica (scholia recentiora e codd. Matr. Bibl. Nat. 4678; Vat. gr. 191 et 304) Citation: Scholion — (line) | ||
1 | Ἀριθμὸς ἐπὶ μονάδα πολλαπλασιασθεὶς ἀριθμὸν ποιεῖ. A5. | |
2 | Νῦν πολλαπλασιάζει τὰ εἴδη τῶν ἀριθμῶν. A3 V2 T2. | |
3 | Εἴτε τὴν δύναμιν ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσεις, δυναμοδύναμιν ποιήσεις, εἴτε τὴν πλευρὰν τῆς δυνάμεως πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτῇ πλευρᾶς κύβον, δυναμοδύναμιν πάλιν ποιήσεις· ἐννάκις γὰρ τὰ θ, καὶ τρὶς τὰ κζ, πα. Ὁμοίως καὶ εἴτε τὴν πλευρὰν πολλαπλασιάσεις μετὰ τῆς δυναμοδυνάμεως, εἴτε τὴν | |
| 5 | δύναμιν μετὰ τοῦ κύβου, δυναμόκυβον· τρὶς γὰρ πα, σμγ, καὶ ἐννάκις τὰ κζ, σμγ. Ὡσαύτως καὶ εἴτε τὸν κύβον ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσεις, εἴτε τὴν πλευρὰν αὐτοῦ ἐπὶ τὸν δυναμόκυβον, κυβόκυβον ποιήσεις· τὰ γὰρ κζ ἐφ’ ἑαυτὰ πολλαπλασιασθέντα, καὶ τὰ γ ἐπὶ τὰ σμγ, ψκθ γίνονται. A4 V2 T2 Ta. | |
|---|---|---|
4 | Νῦν δὲ τὰ μόρια πολλαπλασιάζει. A3 V2 T2 | |
5 | Ἐνταῦθα τὸν μερισμὸν τῶν εἰδῶν παραδίδωσιν. A3 V2 Ta. | |
6 | Ἔσται ὁ μὲν ἐλάττων, ιε, ὁ δὲ μείζων με. Καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά, ὅτι ὁ με τοῦ ιε ἐστι τριπλασίων καὶ οἱ ἀμφότεροι συντιθέμενοι ποιοῦσι 〈τὸν ξ.〉 A4. | |
7 | Δεῖ δὴ τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν δύο δοθέντων μορίων ϟὸν μεταξὺ πίπτειν τῶν τοιούτων δύο μορίων τοῦ ἐξαρχῆς διαιρουμένου, ἤτοι τὸν λ μεταξὺ τοῦ τρίτου τῶν ρ, ὅπερ ἐστὶ λγ γʹ, μήτε κάτωθεν τοῦ κ. Εἰ γὰρ τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως τῶν δύο μορίων θῶμεν εἶναι τὸν λδ, οὐ προβαίνει ἡ δεῖξις· οἱ γὰρ δύο συντεθέντες | |
| 5 | ποιήσουσιν ἀριθμοὺς δύο μονάδας ρβ, καὶ τὸ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια χώραν ἐνταῦθα οὐκ ἔχει· μείζους γὰρ αἱ ρβ τῶν ρ μονάδων. Πάλιν εἰ τὸν ιη ὑποθήσομεν εἶναι καὶ τάξομεν τὸ τοῦ δευτέρου πέμπτον ἀριθμοῦ ἑνός, αὐτὸς ἔσεται ἀριθμῶν ε· τὸ ἄρα τοῦ πρώτου τρίτον ἔσεται μονάδων ιη λείψει ἀριθμοῦ ἑνός· αὐτὸς ἄρα ἔσεται μονάδων νδ λείψει ἀριθμῶν τριῶν· οἵτινες συντεθέντες ποιοῦσιν ϟοὺς δύο μονάδας | |
| 10 | νδ. Καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Λοιπὸν ἄρα μονάδες μϛ ἴσαι ἀριθμοῖς δυσίν. Ἀλλὰ τὸ πέμπτον τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ἑνός, ἤτοι μονάδες κγ· αὐτὸς ἄρα μονάδες ριε, ὅπερ ἄτοπον· τὸ γὰρ μέρος τοῦ ὅλου μεῖζον· οὗτος γὰρ ὁ ριε ἀνεφάνη εἷς τῶν ἐκ τῶν ρ διαιρεθέντων. Οὐκοῦν ἄρα οὔτε ἄνωθεν οὔτε κάτωθεν τῶν τοιούτων δύο μέρων τοῦ διαιρεθέντος ἀριθμοῦ δεῖ πίπτειν τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως, ἀλλὰ τούτων | |
| 15 | μεταξύ. A4 V2 T3 Ta. | 682 |
8 | Πῶς οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν ἀριθμοὺς β μονάδας Ϟ ἐνταῦθα δῆλον. Ἐπεὶ ὁ δεύτερος ἀριθμῶν ε, ὁ δὲ πρῶτος μονάδων Ϟ λείψει ϟῶν τριῶν, ἄφελε ἀπὸ τῶν ε ἀριθμῶν ϟοὺς γ· οἱ ἐναπολειφθέντες ἄρα ϟοὶ δύο μονάδες Ϟ. A4 V2 T3. | |
9 | Ἵνα λαβὼν παρὰ τοῦ δευτέρου τὸ μέμπτον, τουτέστιν ἀριθμὸν ε, γένηται μονάδων λ τελείων. Εἰ γὰρ οὐκ ἔστι τὸ τοῦ πρώτου τρίτον, τουτέστι αἱ μονάδες αἱ λ λείπουσαι ἀριθμὸν α, ἀλλ’ εἰσι τελειωμέναι λαβοῦσαι κατὰ τὴν ὑπόθεσιν τὸ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ πέμπτον, τουτέστι ἀριθμὸν α, γενήσονται ἀριθμὸς α | |
| 5 | μονάδες λ, ὅπερ ἄτοπον. Ὑποκεῖται ἄρα τὸ τοῦ πρώτου ἀριθμοῦ τρίτον καὶ τὸ τοῦ δευτέρου πέμπτον ἐπὶ τὸ αὐτὸ συντεθὲν ποιεῖν μονάδας λ καὶ μόνον· καλῶς ἄρα ἔσται τὸ τοῦ πρώτου τρίτον μο λ λεῖψις ἀριθμοῦ ἑνός, καὶ λοιπαὶ ἄρα μονάδες ι ἴσαι ἀριθμοῖς δυσίν, ὁ ἄρα εἷς ϟὸς μο ε. A4. | |
10 | Ἐπιτετάχθω εἶναι τὸν μείζονα ἐν λόγῳ ἡμιολίῳ πρὸς τὸν ἐλάττονα, τὴν δὲ ὑπεροχὴν εἶναι μονάδων θ, τοῦ ἄρα ἐλάττονος ἀριθμοῦ ἑνὸς ὄντος· ὁ μείζων ἔσται ἑνὸς ἡμίσεος. Λοιπὸν θέλω τὸν ἕνα ἥμισυ ὑπερέχειν τοῦ ἑτέρου μονάδων θ. Ἀλλ’ ἡ ὑπεροχὴ αὐτοῦ ἥμισυ ἀριθμοῦ. Ὁ ἄρα ἐλάττων ἀριθμὸς μονάδων ιη, ὁ | |
| 5 | δὲ μείζων κζ. Εὕρηνται ἄρα δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ καὶ ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ. A4 V2 T3. | |
11 | Δεῖ δὴ τὴν δοθεῖσαν ὑπεροχὴν τῶν μορίων, τουτέστι τοῦ τετάρτου πρὸς τὸ ἕκτον, ἤτις ἐδόθη μονάδων κ, εἶναι ἐλάσσονα τοῦ δοθέντος μέρους τοῦ ἐξ ἀρχῆς δοθέντος ἀριθμοῦ τοῦ ρ, τοῦ τετάρτου αὐτοῦ μέρους. Ἡ γὰρ ὑπεροχὴ τῶν μορίων τοῦ τετάρτου πρὸς τὸ ἕκτον ἐκείνη ἔχει τὰς μονάδας τὰς κ αἵτινες ὀφείλουσιν | |
| 5 | εἶναι ἐλάσσονες τοῦ τετάρτου μέρους, τῶν κε μονάδων, τοῦ ἐξ ἀρχῆς ληφθέντος ἀριθμοῦ, ἤτοι τῶν ρ. A4 V2 T3 Ta. | |
12 | Καὶ ἡ αἰτία δήλη τῷ καὶ μόνον ἐπιστήσαντι τοῦ προτεθέντος τὸν προσδιορισμόν. Οὐ γὰρ προβαίνει ἡ δεῖξις, εἴτε πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος μέρους τοῦ διαιρεθέντος ἀριθμοῦ ἢ ἴση ἢ μείζων ἐστὶ τοῦ τοιούτου μέρους τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοῦ. A4 V2 T3. | |
13 | Ἀφῃρήσθω κοινὴ λεῖψις τὰ κ. ϟοὶ ἄρα τρεῖς λείψει μονάδων σπ ἴσοι ἀριθμῷ ἑνί. A4 V2 T3 Ta. | |
14 | Διχῶς γίνεται ἡ ἀφαίρεσις κατά τε μονάδα καὶ ἀριθμόν. Καὶ γὰρ πρότερον ἀφαιροῦμεν ἐκ τῶν ἀριθμῶν τῶν τριῶν καὶ μονάδων ξ, μονάδας ξ καὶ ἐκ | |
| τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδων ρ ἀφαιροῦμεν μονάδας ξ, τουτέστιν ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Καὶ λοιποὶ ϟοὶ τρεῖς ἴσοι ϟῷ ἑνὶ καὶ μονάσι μ. Εἶτα διὰ τὸ μὴ | 683 | |
| 5 | εὑρεῖν ἡμᾶς τὴν ὑπόστασιν τοῦ ἀριθμοῦ, ἀφαιροῦμεν πάλιν ἐκ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδων μ τὸν ἕνα ἀριθμόν, καὶ τοῦ γ ϟ ἕνα, καὶ γίνονται β ἴσοι μονάσι μ. A4 V2 T3 Ta. | |
15 | Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ διδόμενος λόγος ἐλάττων τοῦ λόγου ὃν ἔχει ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα, οὐ προβαίνει ἡ δεῖξις. Εἰ γὰρ τοῦ ρ πρὸς τὸν κ λόγον πενταπλάσιον ἔχοντος, ἑξαπλάσιον ἔχειν τοὺς γινομένους προστιθεμένου τοῦ ἀριθμοῦ ἀπαιτήσομεν, τῆς δείξεως προβαινούσης, δεήσει τὰ μείζονα εἶναι τῶν | |
| 5 | ἐλαττόνων ἑξαπλάσια. Τὰ ἑξάκις ἄρα τὰ ἐλάττονα ἴσα ἔσται τοῖς μείζοσιν. Ἑξάκις δὲ τὰ ἐλάττονα γίνονται ἀριθμοὶ ϛ μονάδες ρκ. Ταῦτα δὲ οὐκ ἴσα ἀριθμῷ ἑνὶ μονάσιν ρ, ἀλλὰ μείζονα, ὥστε ἡ δεῖξις οὐ προβαίνει. Ὁμοίως καὶ εἰ πενταπλάσιον λόγον ἔχειν τοὺς γινομένους ἀπαιτήσομεν· ε ϟοὶ μονάδες ρ ἴσαι ἔσονται ἀριθμῷ ἑνί. A4 V2 T3 Ta. | |
16 | Καὶ ἡ αἰτία δι’ ἣν ὁ προσδιορισμὸς τῷ μετὰ ἐπιστασίας ἀναγινώσκοντι δήλη. V2 T3 Ta. | |
17 | Ἤτοι ρκ μο, τουτέστιν οἱ ϛ ἀριθμοὶ 〈ἐπὶ τοὺς κ. Καὶ〉 ἐκτιθέμενοι οἱ ϛ ϟοὶ ἐν μὲν ταῖς μονάσι ταῖς λειπούσαις ϟοὺς ϛ, γίνονται ρκ μο 〈τέλειαι〉· ἐν δὲ ταῖς ρκ 〈μονάσι〉 λειπούσαις ϟὸν α, γίνονται 〈ϟοὶ ε〉 μονάδες ρ, οἵτινές εἰσιν ἴσοι μονάσι ρκ. Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, 〈ἤτοι ἀπὸ〉 ἴσων ἴσα. | |
| 5 | Ἀπὸ τῶν ἄρα 〈ρ μονάδων ἀφαιροῦμεν〉 ρ μονάδας, 〈καὶ〉 ἀπὸ τῶν ρκ μονάδων 〈καὶ τὰς ρ μονάδας.〉 Ἐναπελείφθησαν 〈ϟοὶ ε〉 ἴσοι μονάσιν κ. A4. | |
18 | Ἐπεὶ ἡ λεῖψις ϟοὶ ϛ, ταῖς μὲν ρκ μονάσιν οἱ ἓξ προστεθέντες ϟοὶ ἀφανίσουσι τὴν λεῖψιν, ταῖς δὲ ρ μονάσι λείψει ϟοῦ ἑνὸς ποιήσουσιν ϟοὺς ε μονάδας ρ. Καὶ ἀπὸ ὁμοίων ἤτοι μονάδων ὅμοια. Ἐναπολειφθήσονται ϟοὶ ε ἴσοι μονάσιν κ. V2 T3 Ta. | |
19 | Δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἀνίσων ὁ μὲν μείζων, ὁ δὲ ἐλάττων, καὶ ἔχουσι λόγον πρὸς ἀλλήλους πολλαπλάσιον καθ’ ὃ ἐδόθη, ὁ ρ καὶ ὁ κ λόγον ἔχοντες πενταπλάσιον, καὶ αὐτὸς ἀριθμὸς ἐδόθη προστιθέμενος μὲν εἰς τὸν κ, καὶ πάλιν ὁ αὐτὸς ἀφαιρούμενος εἰς τὸν ρ. Εἰ δὲ ὑποτιθέμεθα τὸν ρ λείποντα ϟ α ἐλάσσονα | |
| 5 | εἶναι μο κ καὶ ϟοῦ α, ὁ διδόμενος λόγος οὐδὲν διαφέρει δίδοσθαι εἴτε μείζων εἶναι εἴτε ἐλάσσων τοῦ λόγου τοῦ ἐξ ἀρχῆς δοθέντος τοῦ ρ καὶ κ τὸν λόγον ἔχοντος πρὸς ἀλλήλους πενταπλάσιον. Εἴτε δ δοθῇ, εἴτε, ζ, ὁ δὲ τὴν ἠθικὴν δεχόμενος ὁ μο κ ϟ α, γενόμενος ϟ εἷς καὶ μο κ, εἰ ἐν τῇ ἀποδείξει δοθῇ ἐλάττων, οὐ δεῖ τὸν | |
| προσδιορισμὸν τοῦ εἶναι τὸν δοθέντα μὲν λόγον ἀεὶ ἐλάττονα τοῦ 〈λόγου τοῦ〉 | 684 | |
| 10 | δοθέντος τῶν ἀριθμῶν 〈ρ καὶ〉 κ, τοῦ ε, τουτέστι εἴτε 〈ἐλάττονα ὡς τὸν δ,〉 οὐδέποτε δὲ μείζονα 〈ὡσ〉 τὸν ζ. Ὥστε ὅτε 〈ὑποτιθέμεθα〉 τὸν ρ λείποντα 〈ϟ α μείζονα εἶναι, οὐδὲν〉 ἄτοπον ἔχειν εἴτε ἐλάττων δοθῇ 〈ὁ λόγος εἴτε〉 μείζων τοῦ ἐξ ἀρχῆς 〈δοθέντοσ〉 λόγου. 〈Προστιθέμενοι〉 οἱ δ 〈ἀριθμοὶ〉 μὲν ταῖς υ μονάσι ταῖς λειπούσαις | |
| 15 | ἀριθμοὺς δ, γίνονται υ μονάδες τέλειαι, εἰ δὲ τῷ ἑνὶ ἀριθμῷ καὶ μονάσιν κ, γίνονται ἀριθμοὶ ε καὶ μονάδες κ, αἵτινές εἰσιν ἴσαι μονάσιν υ. Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, καὶ ἀπὸ ἴσων ἴσα. Εἶτα ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ε ϟ καὶ μονάδων κ, μο κ, καὶ ἀπὸ τῶν υ μονάδων μονάδας κ, καὶ λοιποὶ ἀριθμοὶ ε ἴσοι μονάσι τπ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς μονάδων οϛ. A3 V2 T3 Ta. | |
20 | Ἀπορήσειέ τις δι’ ἣν αἰτίαν ἐλάσσονα ἔταξε τὸν ρ λείψει ϟοῦ ἑνός, μείζονα δὲ τὸν κ καὶ τὸν ϟόν, καὶ εἴποι ὁτοῦ ὁ ἀπορήσας, ἐὰν μείζονα τάξῃ τὸν ρ λείψει ϟοῦ α, ἐλάσσονα δὲ τὸν κ καὶ τὸν ἕνα ἀριθμόν, προβήσεται. Λέγω ὅτι καὶ οὕτω ἡ δεῖξις προβήσεται. Ἔστωσαν μείζονες αἱ ρ μο λείψει ἀριθμοῦ ἑνός, | |
| 5 | ἐλάσσονα δὲ τὸν κ καὶ 〈τὸν ϟόν.〉 Ἅπαξ ἄρα τὰ ἐλάσσονα, ἤτοι τὸν π ϟ δ, ἴσοι ταῖς ρ λείψει ϟοῦ ἑνός. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω 〈ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια.〉 Μονάδες ἄρα κ ἴσαι ϟοῖς ε· ὁ ἀριθμὸς ἄρα μονάδων δ. Προσκείσθωσαν αἱ μονάδες καὶ ἀφῃρήσθωσαν. Ἡ δεῖξις 〈προβαίνει.〉 A4. | |
21 | Τοῦτο οὐκ ἔστι καθολικόν. A5. | |
22 | Εἰς τὸ καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. Ηὕρημαι τὸν ρ διαιρούμενον εἰς μείζονα καὶ εἰς ἐλάττονα, εἰς μείζονα μὲν τὸν π, εἰς ἐλάττονα δὲ τὸν κ. Τῆς 〈πρώτησ〉 διαιρέσεως τὸν αὐτὸν καὶ 〈ηὕρημαι〉 διαιρεθέντα 〈εἰσ〉 μὲν τὸν 〈ξ, εἰς δὲ τὸν〉 τεσσαράκοντα τῆς δευτέρας διαιρέσεως. Τοῦτό ἐστιν ἡ | |
| 5 | 〈διαίρεσισ〉 τοῦ ἐξ ἀρχῆς ϟοῦ τοῦ ρ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. A3. | |
23 | Πῶς ἔχομεν τὴν θέσιν τῶν δύο ἀριθμῶν τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως μο τ λειπούσων ἀριθμοὺς ε; Καὶ ταῦτα ἐλέγομεν ἴσα εἶναι μο ρ. Λοιπὸν δὲ τὸ θέλον ἡμᾶς εὑρῆναι τὴν ὑπόστασιν τῶν ἀριθμῶν. Τὸ πῶς ἐστι μονάδων μ λέγομεν οὕτως. Κοινὴ κείσθω ἡ λεῖψις, τουτέστιν οἱ ἀριθμοί. Εἶτα προστίθεμεν τοὺς | |
| 5 | εἰρημένους ε ἀριθμοὺς ταῖς τ μονάσι ταῖς λειπούσαις ἀριθμοὺς ε, καὶ γίνονται τ μο τέλειαι. Πάλιν προστίθεμεν τὴν αὐτὴν λεῖψιν, ἤγουν τοὺς ε ἀριθμούς, ταῖς ρ μονάσι, καὶ γίνονται μονάδες ρ καὶ ἀριθμοὶ ε ἴσοι μονάσι τ. Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, καὶ ἀπὸ ἴσων ἴσα. Οὐκοῦν ἀφαιρῶ ἀπὸ μὲν τῶν ρ μονάδων καὶ ἀριθμῶν ε μονάδας ρ, καὶ ἀπὸ τῶν τ μονάδων μονάδας ρ. Καὶ λοιποὶ ἀριθμοὶ ε | |
| 10 | ἴσοι μονάσι ς, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς μονάδων μ. A3. | |
24 | 〈Ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεωσ〉 μονάδων π, | |
| διὰ τὸ εἶναι ϟ β, ὁ δὲ ἐλάσσων τῆς αὐτῆς διαιρέσεως μο κ, διὰ τὸ εἶναι αὐτὸν μο ρ λεῖψις ϟ β, ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως μο ξ, διὰ τὸ εἶναι μο τ ↑ ἀριθμῶν ϛ, ὁ δὲ ἐλάσσων ὁ ἐκ τῆς αὐτῆς διαιρέσεως μο μ, διὰ τὸ τετάχθαι αὐτὸν | 685 | |
| 5 | ἀριθμοῦ ἑνός. Καὶ ἔστιν 〈ἀριθμοῦ〉 διπλάσιος ὁ μείζων ὁ ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως, τουτέστιν ὁ π μο, ὁ δὲ μείζων ὁ ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως ὁ 〈ξ〉 τριπλάσιος τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως τοῦ μο κ. Καὶ διὰ τοῦτο φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. A3. | |
25 | Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἀνίσους, καὶ πάλιν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν τὸν ρ διελεῖν εἰς β ϟοὺς ἀνίσους, καὶ πάλιν τὸν αὐτὸν ϟ διελεῖν εἰς δύο ϟοὺς ἀνίσους, τουτέστι τὸ τριχῶς διελεῖν τὸν αὐτὸν ϟ. A4. | |
26 | 〈Δεῖ ἄρα τὸν〉 συντιθέμενον μετὰ 〈τοῦ〉 αὐτοῦ μείζονος ἀριθμοῦ 〈τοῦ〉 μο τ λεῖψις ἀριθμῶν 〈ϛ〉 γενέσθαι ἴσους ταῖς ὅλαις ρ μο. 〈Ἐὰν〉 λάβῃ ὁ μείζων 〈ὁ μο〉 τ λεῖψις ϟ ϛ παρὰ τοῦ 〈ἐλάσσονοσ〉 τοῦ ὄντος ἀριθμῶν ϛ 〈λεῖψισ〉 μο ς τοὺς ϛ ἀριθμοὺς, γίνονται μο τ τέλειαι. Καὶ 〈οὕτωσ〉 | |
| 5 | ἀφαιρεθείσης τῆς 〈μο σ〉 λείψεως, γίνονται ἀμφότεραι μο ρ τέλειαι ἴσαι ταῖς ὅλαις ταῖς ρ μονάσι τῷ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντι ἴσαις. A3. | |
27 | Εὕρηται ἄρα ἡ ὑπόστασις μο λϛ. Ἔσται ὁ ἐλάσσων ὁ ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως τοῦ ρ ὁ ϟὸς ὁ ἐλάσσων μο λϛ, 〈ὁ〉 δὲ μείζων αὐτοῦ μο ξδ. Ὁ δὲ διπλάσιος τοῦ λϛ ἔσται ὁ μείζων ὁ ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως τοῦ ρ ϟοῦ μο οβ· ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ἐλάσσων τῆς δευτέρας διαιρέσεως τῶν ρ μο ἔσται μο κη. Τούτου δὲ | |
| 5 | τοῦ κη ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως τοῦ ρ ὁ μείζων τριπλάσιος αὐτοῦ ἐδόθη· ἔσται μο πδ. Ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως τῶν ρ μο ὁ ἐλάσσων μο ιϛ. Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. A3. | |
28 | Ἐπεὶ ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως ϟ ἐστι β, ἔστι δὲ ἡ ὅλη μο ρ, ἔσται ὁ ἐλάττων μο ρ ↑ ϟ β. Καὶ ἐπεὶ ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως μο ἐστὶ τ ↑ ϟ ϛ, 〈ἔσται ὁ〉 ἐλάττων ϟ ϛ ↑ μο ς. Καὶ ἐπεὶ ἡ διαίρεσις ὅλη μο ἐστὶν ρ, δεήσει ἄρα μο τ ↑ ϟ ϛ 〈συντεθείσας μετὰ〉 ϟ ϛ ↑ μο ς ποιεῖν μο ρ. Καὶ | |
| 5 | προσλαβοῦσαι γὰρ αἱ τ μο 〈ταῖς τῆς λείψεως μο ς ποιοῦσι μο ρ.〉 A5. | |
29 | 〈Ἐπεί εἰσιν οἱ ἐκ τῆς τρίτησ〉 διαιρέσεως ϟ κε ↑ μο ω, καὶ ταῦτα ἐλέγομεν ἴσα εἶναι μο ρ, οὕτως εἴπομεν. Προσκείσθω ἡ λεῖψις. Προστίθεμεν τὰς ω μο, ἤτοι τὴν λεῖψιν, τοῖς κε ϟοῖς, καὶ γίνονται κε ϟοὶ τέλειοι. Καὶ πάλιν προστίθεμεν τὴν αὐτὴν λεῖψιν ταῖς ρ μο, καὶ γίνονται μο ϡ ἴσαι ϟοῖς κε, καὶ | |
| 5 | γίνεται ὁ ἀριθμὸς μο λϛ. Καὶ ἔστιν ὁ μὲν ἐλάσσων τῆς τρίτης 〈διαιρέσεωσ〉 μο λϛ, διὰ τὸ εἶναι αὐτὸν ϟοῦ α, ὁ δὲ μείζων τῆς αὐτῆς διαιρέσεως μο ξδ, διὰ τὸ εἶναι αὐτὸν τετραπλάσιον τοῦ ἐλάσσονος 〈τῶν〉 ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως τοῦ ὄντος μο ιϛ, διὰ τὸ εἶναι πάλιν αὐτὸν ἀριθμῶν ϛ ↑ μο ς, ὁ δὲ μείζων τῆς πρώτης διαιρέσεως μο πδ, διὰ τὸ εἶναι αὐτὸν μο τ ↑ ϟ ϛ. Καὶ ἔστιν ὁ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς | |
| 10 | δευτέρας διαιρέσεως μο κη, διὰ τὸ εἶναι αὐτὸν 〈μο ρ〉 ↑ ϟ β, ὁ δὲ τούτου μείζων μο οβ, διὰ τὸ εἶναι αὐτὸν διπλάσιον τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς τρίτης | |
| διαιρέσεως τοῦ ὄντος ἀριθμοῦ 〈α〉, ἤγουν μο λϛ. Καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. Καὶ γίνεται ὁ μὲν μείζων τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως ὁ μο πδ 〈τριπλάσιος τοῦ〉 ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς δευτέρας 〈διαιρέσεωσ〉 τοῦ μο κη, ὁ 〈δὲ〉 | 686 | |
| 15 | μείζων τῶν ἐκ τῆς 〈δευτέρασ〉 διαιρέσεως ὁ μο οβ 〈διπλάσιοσ〉 τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς 〈τρίτης διαιρέσεωσ〉 τοῦ μο λϛ. Καὶ 〈γίνεται ὁ〉 μείζων τῶν ἐκ 〈τῆς τρίτησ〉 διαιρέσεως ὁ μο ξδ 〈τετραπλάσιοσ〉 τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς πρώτης 〈διαιρέσεωσ〉 τοῦ μο ιϛ, ὅ γε 〈ἔδει〉 δεῖξαι. A3. | |
30 | Ἔστιν ὁ μὲν πρῶτος μο δ, † Ὁ δὲ διὰ τὸ εἶναι τοῦ ὁμωνύμου. τοῦ δοθέντος ὑπὸ τοῦ γ ὁμωνύμου μο κ καὶ γίνεται τοῦ δ. † Ὁ δὲ πολλαπλασιασμὸς αὐτῶν τῶν μονάδων δ ἐπὶ τῶν ιβ μονάδων γίνεται μο μη, αἵτινες 〈γ〉 εἰσιν ὑπὸ τῶν μο ιϛ. A3. | |
31 | Μὴ ἔστω μο ιβ, ἀλλὰ δ καὶ ὄντος ἐστὶ γὰρ τὸ ὑπ’ αὐτῶν ϟ 〈δ.〉 Ἀριθμὸς α μο δ τρίς, τὰ 〈ἐλάσσονα ἴσα〉 τοῖς μείζοσιν. ϟοὶ ἄρα γ μο 〈ιβ ἴσοι〉 ϟοῖς δ· ὁ ἀριθμὸς ἄρα μο ιβ. A4. | |
32 | Δεῖ δὴ τὸ πλῆθος τῶν μο ἑνὸς τῶν ἐξ ἀρχῆς δοθέντων ἀριθμῶν μεῖζον εἶναι τοῦ ὁμωνύμου τοῦ διδομένου. Οἷον δέδονται ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ δύο ὅ τε δ καὶ ὁ ιβ ἐπ’ ἀλλήλους λόγον ἔχοντες τριπλάσιον. Καὶ ἔστιν ὁ ὁμώνυμος τοῦ τριπλασίου ὁ γ. Λοιπόν ἐστι τὸ λεγόμενον τοιοῦτον εἶναι. Δεῖ οὖν τὰς μο ἑνὸς τῶν β ἀριθμῶν | |
| 5 | τῶν ἐξ ἀρχῆς δοθέντων, οἷον εἰ τύχοι τοῦ ιβ, μείζονας εἶναι τοῦ ὁμωνύμου λόγου τοῦ γ· οὗτος γὰρ ὁμώνυμος τῷ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντι λόγῳ, οἷον τῷ τριπλασίῳ. A3. | |
33 | Εἰ μὴ κατὰ τὸν προσδιορισμὸν γίνηται, ἀλλὰ τὸ ὑποτιθέμενον πλῆθος τῶν μο ἑνὸς τῶν ἀριθμῶν ἴσον γίνηται ἢ μεῖζον τοῦ διδομένου ὁμωνύμου λόγου, οὐ προβαίνει ἡ δεῖξις. A4. | |
34 | 〈Τὰ δὲ〉 ἐλάσσονα γίνεται 〈ϟ ϛ ↑〉 μο σμ ἴσα 〈ϟῷ ἑνὶ〉 μονάσιν π. 〈Ἀπὸ ὁμοίων〉 ὅμοια. Γίνονται ϟ ε 〈↑ μο〉 σμ ἴσοι 〈μονάσιν〉 π. 〈Προσκείσθωσαν μο σμ καὶ〉 γίνονται 〈ϟ ε ἴσοι〉 μονάσι τκ. A5. | |
35 | 〈Προσκείσθω〉 ἡ λεῖψις. 〈ϟ ἄρα γ〉 ἴσοι ϟῷ ἑνὶ 〈μοϞ.〉 Καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ϟ ἄρα β ἴσοι μονάσιν Ϟ. Ὁρᾷ ὁ ἀναγινώσκων τὸ ἄτοπον, εἰ μὴ μεῖζον τὸ τῶν ἐπιταχθέντων 〈ἥμισυ τῶν ἑκάστου〉 μονάδων. Τετάχθω ἄρα τὸν πρῶτον μετὰ τοῦ δευτέρου συντεθέντα ποιεῖν μο ι, τὸν δὲ δεύτερον μετὰ τοῦ | |
| 5 | τρίτου ιε, καὶ τὸν τρίτον μετὰ τοῦ πρώτου 〈κ. Καὶ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι μο με, αἵπερ μείζονές εἰσιν ἑκάστου αὐτῶν.〉 A5. | |
36 | Ηὕρηται ἄρα ὁ 〈μὲν〉 πρῶτος μο ιε, ὁ δὲ δεύτερος μο ε, ὁ δὲ τρίτος μο κε, καὶ 〈ποιοῦσι τὰ〉 τῆς 〈προτάσεως.〉 Ἐὰν ἄρα ἀπὸ ἴσου ἀριθμοῦ εὑρεθέντος μο με ἀφέλω τὸν ἐκ 〈τῆσ〉 συνθέσεως 〈τοῦ〉 πρώτου καὶ δευτέρου μο κ, ἔξω τὸν τρίτον μονάδων κε. Καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ τρίτου | |
| 5 | τῆς συνθέσεως αὐτῶν μο λ 〈ἀφέλω〉 ἀπὸ τοῦ εὑρεθέντος ἀριθμοῦ τῶν μονάδων | |
| με, καταλείπεται ὁ πρῶτος μο ιε. Ἐὰν δὲ πάλιν ὁμοίως ἀπὸ τῆς συνθέσεως τοῦ τρίτου καὶ τοῦ πρώτου μο μ ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ εὑρεθέντος ἀριθμοῦ τοῦ μο με, καταλείπεται ὁ δεύτερος ἀριθμὸς 〈μο ε·〉 ὁ μὲν πρῶτος μο ιε καθ’ ὕπαρξιν, ὁ δὲ τρίτος μο κε καθ’ ὕπαρξιν. Καὶ ὁ συντεθεὶς ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ δευτέρου | 687 | |
| 10 | ποιοῦσι μο κ, ὡς ἐδόθη ἐξ ἀρχῆς· ὁ δὲ δεύτερος μετὰ τοῦ τρίτου συντεθεὶς ποιεῖ μο λ, καὶ ἔτι ὁ τρίτος μετὰ τοῦ πρώτου συντεθεὶς ποιεῖ μο μ. A3. | |
37 | Τὰ τῶν τριῶν ἀριθμῶν λείποντα τῶν ϟ ἴσα ἀριθμῷ ἑνί, ὅς ἐστιν ὁ με. T3. | |
38 | Ἐὰν γὰρ τὸ τρίτον τῶν τεσσάρων ἴσον ᾖ τινι αὐτῶν ἢ ἔλαττον, τὸ εὕρημα οὐ συσταθήσεται. Καὶ οἱ μὲν ἄλλοι τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ τῆς 〈οἰκείας προτάσεωσ〉 φυλαχθέντων, οἱ δὲ ἀπὸ τοῦ τετάρτου τρεῖς ποιείτωσαν μονάδας λγ, ὡς εἶναι τῶν τεσσάρων τὸ τρίτον, ἤτοι τῶν Ϟθ, 〈ἴσον τοῖς τρισὶν ἀπὸ τοῦ〉 | |
| 5 | τετάρτου. Τῆς γοῦν κατασκευῆς τῆς αὐτῆς προβάσεως ὁ μὲν τέταρτος ἔσται μο ιγ, ὁ δὲ πρῶτος ια, ὁ δὲ δεύτερος θ· τρίτος δὲ οὐκ ἀναφαίνεται, ὅθεν ἄρα τὸ 〈εὕρημα τὸ αὐτό ἐστι〉 τοῦ ἑκκαιδεκάτου 〈θεωρήματοσ〉. A4. | |
39 | Ἐπεὶ ὁ πρῶτος καὶ ὁ δεύτερος ὅμου νε εἰσι καὶ ὑπερέχουσι τοῦ τρίτου κ, λε ὄντος, † προστεθέντων τῶν λε τοῖς τε νε καὶ καὶ τῷ λε, ὁ τρίτος ἔσται ο καὶ ὁ πρῶτος μετὰ τοῦ δευτέρου. † A2. | |
40 | Ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν ἀριθμῶν τὴν ὑπεροχὴν τῶν μονάδων κ καὶ ἀπὸ τοῦ δὶς τὸν τρίτον, ἀπὸ ἑκατέρου ἀφέλωμεν μο κ, γίνονται οἱ τρεῖς ϟοὶ β, καθ’ ὃ καὶ ἀπ’ ἀρχῆς ἐτάχθησαν, καὶ ὁ δὶς τὸν τρίτον γίνεται ϟοὶ β ↑ μο κ· ἅπαξ δὲ ὁ τρίτος γίνεται ἀριθμὸς εἷς λεῖψις μονάδων ι. Τὸ αὐτὸ νόει καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν | |
| 5 | τῶν σὺν δύο λαμβανομένων. A3. | |
41 | Τὸ ιη ἄλλως. Ἑπεὶ ὁ πρῶτος καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τρίτου ὑπερέχουσι μο κ, ὃ δὲ ὑπερέχουσιν οἱ β τοῦ τρίτου κοινοῦ προστεθέντος, τοῦτο ὑπερέχουσι καὶ οἱ τρεῖς δὶς τοῦ τρίτου. Οἱ ἄρα τρεῖς τοῦ διπλασίονος τοῦ τρίτου ὑπερέχουσι μο κ. 〈Οἱ δὲ τρεῖσ〉 εἰσιν ϟ β. ϟ ἄρα β τοῦ διπλασίονος τοῦ τρίτου ὑπερέχουσι μο κ. | |
| 5 | Ὁ ἄρα διπλασίων τοῦ τρίτου ἔσται ϟ β ↑ 〈μο κ·〉 αὐτὸς ἄρα ὁ τρίτος ἔσταιϟ α ↑ μο ι. Διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν πρῶτος πάλιν ἔσται ϟ α ↑ μο ιε, ὁ δὲ δεύτερος ϟ α ↑ μο κ. A3. | |
42 | Σχόλιον. Ἐὰν ἀπὸ ἀνίσου ἴσα ἀφαιρεθῇ μο κ καὶ κ, 〈ὁ〉 ἄρα διπλασίων τοῦ τρίτου γίνεται ϟ β ↑ μο κ. A3. | |
43 | Ἔσται ὁ μὲν πρῶτος μο λ, ὁ δὲ 〈δεύτεροσ〉 μο κε, ὁ δὲ τρίτος μο λε. Εὑρεῖν τὰς δοθεῖσας ὑπεροχάς. A3. | |
44 | Ἐν ὑποθέσει μ μο ἔλαβε τὸ ἥμισυ τῆς ὑπεροχῆς 〈τοῦ τε〉 κ καὶ τοῦ λ, τουτέστι μο κε. A3. | |
45 | Ὁ πρῶτος καὶ ὁ δεύτερος ἦν ϟ α μο κ. Ἐπεὶ οὖν ὁ δεύτερος ὑπέθετο μο κε, ὁ πρῶτος ἔσται ϟοῦ ἑνὸς ↑ μο ε. A5. | |
46 | Εἰ γὰρ τὸ ἥμισυ τοῦ ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τῶν δ ᾖ ἴσον τινὶ αὐτῶν ἢ μεῖζον, τῆς κατασκευῆς τοῦ προβλήματος γινομένης καὶ εὑρεθείσης τῆς τοῦ ἀριθμοῦ | |
| ποσότητος ἐπὶ τῆς τάξεως τῶν τεσσάρων ἀριθμῶν, ὁ ἴσος ἢ ὁ μείζων τοῦ ἡμίσεος τοῦ ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τῶν δ οὐκ ἀναφαίνεται, ἀλλ’ αὐτὸν ὅλον λείπει τῆς τάξεως | 688 | |
| 5 | 〈καὶ〉 αὐτός, καὶ ἄλλας μετ’ αὐτοῦ μονάδας. A4. | |
47 | Κοινοῦ προστεθέντος 〈τοῦ〉 τετάρτου, καὶ 〈ἐὰν τοῖσ〉 ἀνίσοις προστεθῇ τὰ ὅλα ἄνισα, 〈τὰ〉 δὲ ἀπὸ ἀνίσων ἴσα ἀφαιρεθῇ μο κ καὶ κ, τὰ λοιπά ἐστιν ἄνισα. A3. | |
48 | Κοινῆς προσκειμένης τῆς λείψεως καὶ ὅμοια 〈ἀπὸ〉 ὁμοίων ἀφαιρου‐ μένων. A4. | |
49 | Ἔσται 〈ὁ μὲν〉 πρῶτος 〈μο κ,〉 ὁ δὲ δεύτερος μο ιε, ὁ δὲ τρίτος μο ι, 〈ὁ δὲ〉 τέταρτος μο κε. Εὑρεῖν τὰς δοθεῖσας ὑπεροχάς. A3. | |
50 | Ἐπεὶ ὁ τρίτος καὶ ὁ τέταρτος δὶς λαμβανόμενοι μετὰ τοῦ πρώτου καὶ δευτέρου ἅπαξ λαμβανομένων ὑπερέχουσι τοῦ πρώτου καὶ τοῦ δευτέρου μο ο, ἔσονται μονάδων λε. Οὕτω γὰρ δὶς ληφθέντες ὑπερέξουσι τοῦ πρώτου καὶ δευτέρου, μετ’ αὐτοῦ τοῦ πρώτου καὶ δευτέρου μο ο. Ἴσοι γὰρ ὁ πρῶτος καὶ ὁ | |
| 5 | δεύτερος λαμβανόμενοι μετὰ τοῦ τρίτου καὶ τετάρτου αὐτῷ τῷ πρώτῳ καὶ τῷ δευτέρῳ, καὶ αὐτὸς 〈ὁ〉 τρίτος καὶ 〈ϟοῦ ἑνὸσ〉 ὑπερέχει 〈μο λε·〉 ὁ γὰρ τέταρτος ϟοῦ ἑνός. A4. | |
51 | [Start of a diagram][Start of a diagram section]ὁ π[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ὁ πρῶτος ἐλάσσων μο κ[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ὁ δεύτερος ὁ μείζων μο νε[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ὁ τρίτος μο κε[End of a diagram section][End of a diagram] A3 | |
52 | Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι συμβαίνει τὸν μείζονα ἀεὶ τοῦ μὲν δευτέρου εἶναι ἐπίπεμπτον, τοῦ δὲ τρίτου διπλάσιον. Ἐπὶ πάντων οὖν τῶν οὕτως ἐχόντων ἀριθμῶν δύναται γίνεσθαι ὧν πυθμήν ἐστιν ὁ ϛ, ε, γ. A2. | |
53 | Ὁ ὁμώνυμος τούτου ὁ γ ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου 〈πρὸς τὸν〉 ἐλάσσονα, ἐπὶ ϟ β ↑ μο ι, πολλαπλασιασθεὶς ποιεῖ πλείονας ἀριθμοὺς τοῦ μέσου ϟ ϛ ↑ μο λ. Μέσος ἀριθμὸς ὁ γ ἐὰν δὲ ποιῇ ἐλάσσονα ἀριθμὸν τοῦ μέσου δῆλον πολλαπλασιασθείς, οὐ προβαίνει. Ἐὰν δὲ τύχῃ καὶ ποιῇ ἴσον πολλαπλασια‐ | |
| 5 | σθείς, ἐπί τινος μὲν προβαίνει, ἐπί τινων δὲ οὐ προβαίνει. A3. | |
54 | ϟ ἄρα θ ↑ μο Ϟ ἴσοι εἰσὶν ϟ ἑνὶ μο ι. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. 〈ϟ〉 ἄρα θ ἴσοι ϟ ἑνὶ μονάσιν ρ. Καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Καταλείπονται ἄρα ϟ η ἴσοι μορ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς ιβ 𐅵ʹ. A5. | |
55 | 〈ϟ〉 ἄρα β καὶ ϟ θʹ καὶ μο ια 〈θʹ,〉 ταῦτα κατὰ τὸν προσδιορισμὸν ἐλάσσονά ἐστι τοῦ ἐξ ἀρχῆς δοθέντος 〈ἀριθμοῦ, τουτέστι〉 τῶν ϟ γ. Ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. τουτέστι οὐ μόνον οἱ ἀριθμοὶ τοῖς ἀριθμοῖς, ἤτοι κατὰ τὸν ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ τὰ μέρη τῶν ἀριθμῶν τοῖς μέρεσι τῶν ἀριθμῶν εἰσιν ὅμοια. A3. | |
56 | Ὁμοίως ἐπὶ τῆς προσθήκης δοθέντος μέρους τοῦ μεγίστου ᾧ ὑπερέχει 〈ὁ〉 μέσος τοῦ ἐλαχίστου, 〈τὸν ὑποτιθέμενον〉 τοῦ 〈ἐλαχίστου〉 δεῖ ἐλάσσονα μετὰ τῆς προσθήκης 〈εἶναι〉 τοῦ μέσου κατὰ τὸν προσδιορισμὸν τὸν | |
| 〈ἐξ〉 ἀρχῆς, λαμβανομένων τοῦ μέσου ἀριθμῶν ἀνὰ τῶν μονάδων. A3. | 689 | |
57 | Ἐὰν ἀπὸ ἴσων τριῶν 〈τῶν ἀριθμῶν τοῦ〉 μέσου ἀφέλω ϟ β καὶ θʹ ϟοῦ καταλείπεται ϟ εἷς λείπων θʹ 〈ϟ〉. ϟὸς ἄρα εἷς ↑ θʹ 〈ϟοῦ〉 ἴσος γίνεται μο ια καὶ μο θʹ. Πάντα ἐννάκις. Ἐννάκις ἄρα ὁ ϟὸς εἷς καὶ ἡ λεῖψις τοῦ ἑνὸς γίνεται ϟοὶ θ καὶ θ ↑ ἐννάτων, καὶ γίνεται τὰ θ ἔννατα τῆς λείψεως τοῦ ϟοῦ ϟὸς εἷς, ↑ τῶν | |
| 5 | θ ϟῶν, ὅς ἐστι ↑ ἐκ τῶν ϟῶν τῶν θ, καὶ γίνεται τὸ πᾶν ϟοὶ η τέλειοι ἴσοι μονάσιν Ϟθ, διὰ ἐννάκις, καὶ μο α ἐκ τοῦ ἐννάκις τὸ θʹ τῆς μο, ἅπερ γίνεται μο ρ. A3. | |
58 | Ὥστε μο γ ↑ ϟ α πέμπτον μέρος εἰσὶ τοῦ τρίτου· αὐτὸς ἄρα ὁ τρίτος γίνεται μο ιε ↑ ϟ ε, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς 〈μο β. Ὁ μὲν〉 πρῶτος ϟ γ ἔσται μο ϛ· ὁ δὲ δεύτερος μο δ ἔστω μο δ· ὁ δὲ τρίτος γίνεται μο ιγ ↑ ϟ δ· γίνεται μο ε 〈οὕτως·〉 ἄφελε μο η, διὰ τὴν λεῖψιν τῶν δ ϟ· λοιπαὶ μονάδες ε | |
| 5 | καταλείπονται τὸν τρίτον. A3. | |
59 | ν γὰρ ἦν ὁ ϟὸς εἰκοστῶν τρίτων· αἱ δὲ μο εἰς κγ. A2. | |
60 | 〈Ὁ μὲν πρῶτος ϟ γ〉 ἔσται· λοιπὸν γίνεται μο ρν. Ὁ δὲ δεύτερος μο δ· ἔσται μο Ϟβ. Ὁ δὲ τρίτος ϟ λ ↑ μο ξ· ἔσται μο ρκ. Πῶς; Πεντηκοντάκις αὐτά, ͵αφ, καὶ εἰκοσιτριάκις ἡ λεῖψις τῶν ξ μο γίνεται ͵ατπ· λοιπὸν ἄφελε ἐκ τῶν ͵αφ ͵ατπ· 〈λοιπὸν〉 γίνεται ρκ. Ὁ δὲ τέταρτος ὁ μονάδων ιη ↑ ϟ ϛ· | |
| 5 | λοιπόν ἐστι μο ριδ. Ἐπεὶ μο εἰσὶν αἱ ιη, εἰκοσάκις καὶ τριάκις τὰ ιη γίνεται υιδ· ἡ δὲ λεῖψις τῶν ϟ ϛ ἐπὶ τῶν 〈ν γίνεται τ·〉 ὁσάκις γὰρ τῶν κγ γίνεται τ· καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν υιδ 〈τριακόσια·〉 μένουσι ριδ. A3. | |
61 | Δοὺς μὲν ὁ πρῶτος τῷ δευτέρῳ τὸ ἑαυτοῦ τρίτον μο ν, λοιπὸς μο ρ, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ τετάρτου τὸ ἕκτον μο ιθ, γέγονεν μετὰ τὴν δοσολαβίαν μο ριθ. Ὁμοίως καὶ ὁ δεύτερος δοὺς 〈καὶ λαβὼν〉 γίνεται μο ριθ. 〈Ὁμοίωσ〉 καὶ ὁ τρίτος δοὺς μὲν τὸ ἑαυτοῦ πέμπτον, τουτέστι 〈μο κδ〉, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ | |
| 5 | δευτέρου τὸ τέταρτον, τουτέστι μο κγ, ἐγένετο μο ριθ. Ὁμοίως καὶ ὁ τέταρτος δοὺς μὲν τὸ ἑαυτοῦ ἕκτον, τουτέστι μο ιθ, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ τρίτου τὸ πέμπτον. τουτέστι μο κδ, λοιπὸς γίνεται μο ριθ. A3. | |
62 | Μονάδες ἄρα ν ἴσαι ϟ κγ. 〈Ὁ ϟὸς ἄρα μο δύο καὶ δ κγʹ.〉 Ἐπεὶ δὲ ὁ πρῶτος ὑπόκειται ϟ τριῶν, ἀναλυθήτωσαν οἱ τρεῖς ϟ εἰς κγʹ· 〈γίνεται ρν〉 κγʹ. Ἐπεὶ δὲ ὁ δεύτερος δ μο ὑπόκειται, ἀναλυθήτωσαν εἰς κγʹ· γίνεται Ϟβ κγʹ. Ἐπεὶ δὲ ὁ τρίτος ἐστὶν 〈ϟ λ ↑ μο ξ,〉 ἀναλυθέντος καὶ τούτου εἰς κγʹ. | |
| 5 | λείπεται ρκ κγʹ. Ἐπεὶ δὲ καὶ ὁ τέταρτός 〈ἐστι μο ιη ↑ ϟ ϛ, ἀναλυθέντος καὶ τούτου εἰς κγʹ, λείπεται ριδ κγʹ.〉 A5. | |
63 | Ἀπὸ τῶν τετραπλασίων ϟ δ μο δ, ἀλλὰ τετράκις ὁ 〈δεύτεροσ〉 προσλαβὼν τὸν δεύτερον ↑ καὶ πρῶτον καὶ μο γ. Οἱ δὲ τρεῖς προεδείχθησαν συντεθέντες ϟ α καὶ μο γ. A3. | |
64 | Τετράκις ὁ δεύτερος προσλαβὼν τοὺς δύο ταὐτόν ἐστιν εἰπεῖν τετράκις ὁ δεύτερος προσλαβὼν † τὸν δ μο β ὡς ἑνός, τουτέστι τὰς μο γίνεσθαι ϟ δ καὶ μο δ· ϟ ἄρα δ καὶ μο δ ταὐτόν ἐστιν εἰπεῖν ϟ δ καὶ ὁ τρίτος καὶ ὁ πρῶτος ὡς εἷς | |
| λαμβανόμενοι. † A3. | 690 | |
65 | να ἅτινά ἐστι τρὶς ὁ δεύτερος, ἤτοι ὁ ιζ· τρὶς γὰρ ιζ, να. Ὁ δεύτερος ἄρα ἐστὶν ἀριθμοῦ ἑνός, ἤτοι ιγ, καὶ μονάδος τρίτου, ἤτοι δ· τοῦ γὰρ ιβ τὸ τρίτον δ. T3. | |
66 | Ἀπὸ τούτου τοῦ ϟοῦ ἑνὸς μο γ προσλαβὼν τοὺς γ γίνεται ϟ δ μο δ. Ἐὰν ἄρα ἀφέλω τοὺς γ, λοιποὶ ϟ γ μο α τρίς ἐστιν ὁ δεύτερος· αὐτὸς ἄρα ἅπαξ ἔσται ϟ α μο γʹ. Δεήσει ἄρα καὶ τὸν τρίτον προσλαβόντα 〈τοῦ πρώτου τὸν δεύτερον〉 ὡς ἑνὸς λαβόντος τὸ πέμπτον γίνεσθαι ϟ α μο α. Πάντα πεντάκις. Γίνεται ϟ ε μο | |
| 5 | ε. Ἀλλ’ ὁ τρίτος πεντάκις προσλαβὼν 〈τὸν πρῶτον καὶ δεύτερον〉 τετράκις ἐστὶ ὁ τρίτος προσλαβὼν τοὺς γ. Πεντάκις ἄρα ὁ τρίτος προσλαβὼν τοὺς δύο 〈ἐγένετο ϟ ε μο ε.〉 Ἐὰν ἄρα ἀπὸ 〈τούτων〉 ἀφέλω τοὺς γ, ϟ α μο γ, καταλείπεται ϟ δ 〈μο β τετράκις ἐστὶν ὁ τρίτος· αὐτὸς ἄρα ἅπαξ ἔσται ϟ α μο 𐅵ʹ.〉 A5. | |
67 | Ἔσται ὁ πρῶτος ϟ α, ὁ δὲ δεύτερος ϟ α καὶ μο γʹ, ὁ δὲ τρίτος ϟ α καὶ μο 𐅵ʹ, ὁ δὲ τέταρτος ϟ α καὶ μο γ εʹ. Γίνονται δὲ 〈οὗτοι〉 μετὰ τὴν λῆψιν τῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβανομένων μο Ϟʹ μζ. A3. | |
68 | Ὁ πρῶτός 〈ἐστιν〉 ϟ α, ὁ δεύτερος ϟ α καὶ μονάδος γʹ, ὁ τρίτος ϟ α καὶ μονάδος 𐅵ʹ, ὁ τέταρτος ϟ 〈α καὶ μονάδος γ εʹ.〉 Οἱ δ ἄρα εἰσὶ γ καὶ μζ ἐννενηκοστά. A5. | |
69 | Ὁ δὲ τέταρτος ἀριθμοῦ ἑνὸς μονάδος ἡμιτρισκαιδεκάτου ἔγγιστα. T3. | |
70 | Παραβάλλοντι παρὰ ϟὸν κοινὸν ὕψος γίνεται ἡ ἑκάστου πλευρὰ τῶν μὲν δυνάμεων κε ϟοὶ κε, τῶν δὲ ϟῶν τῶν ς πλευρά 〈μο ς,〉 ὡς τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τὸ αὐτὸν ὕψος ἴσον, καὶ ἡ βάσις πρὸς τὴν 〈βάσιν.〉 Γίνεται ὁ ϟὸς ὁ εἷς μο η διὰ τῆς ἀντιστροφῆς τοῦ | |
| 5 | πρώτου θεωρήματος τοῦ ἕκτου βιβλίου τῶν Εὐκλείδους Στοιχείων, ὅστις ἐστὶ 〈δηλούμενοσ〉 η πολλαπλασιάσας τὰς ε μονάδας καὶ τὰς ς καὶ ποιήσας, τὴν μὲν πλευρὰν τετραγώνου μο 〈μ,〉 τὸν δὲ τετράγωνον μο ͵αχ. A3. | |
71 | Τοῦ μεγέθους τῆς ἰσότητος τῆς χαριδοθείσης τοῦ ὕψους τοῦ αὐτοῦ, ζητοῦμεν τὴν ἑκάστου πλευράν. [Start of a diagram][Start of a diagram section]μ[End of a diagram section] [Start of a diagram section]δυ κε[End of a diagram section] [Start of a diagram section]ἴσος ϟοῖς σ[End of a diagram section][End of a diagram] | |
| 5 | ϟ οὶ κε ἴσοι μο ς, ὅθεν ὁ ϟὸς μο 〈η.〉 A3. | |
72 | Ἀναγκαίως ὀφείλει ἡ ὑπεροχὴ ἣν ὑπερέχει ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος ἀμφοτέρων τοῦ ὑπὸ ἀμφοτέρων εἶναι τετράγωνον. Ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἢ ἀριθμὸς τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, 〈τὸ ἀπὸ〉 τοῦ ἡμίσεος ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 〈ἀνίσων μετὰ〉 τοῦ ἀπὸ τοῦ μεταξὺ τῶν τομῶν. Δεῖ γὰρ λεῖψιν 〈ἐπ’ ὕπαρξιν〉 | |
| 5 | πολλαπλασιασθεῖσαν ποιεῖν λεῖψιν. A4. | 691 |
73 | Ἡ δύναμις ἡ μία τετράγωνος ἀριθμός ἐστι, καὶ αἱ τέσσαρες μο τετρά‐ γωνος ἀριθμός εἰσι, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ δύναμις ἡ μία ταῖς τέσσαρσι μο. Τῶν δὲ ἴσων τετραγώνων καὶ αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσί, καὶ γίνεται ἀριθμὸς ὁ εἷς ἴσος μο δυσί. A3. | |
74 | Ἤτοι οὐκ ἐπιτηδεύσει τινὶ γινόμενον, ἀλλ’ αὐτῇ τῇ πλάσει συναναφαι‐ νόμενον. V3 T3. | |
75 | Πῶς ποιεῖ δυ β μο ς; Ὁ εἷς ἀριθμὸς καὶ αἱ ι μο πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι δυ 〈α〉 ϟοὺς κ μο 〈ρ. Αἱ δὲ μο ι ↑ ϟ α ἐφ’ ἑαυτὰσ〉 πολλαπλασιαζόμεναι ποιοῦσι δυ 〈α ϟ κ〉 ↑, μο ρ. Ἀφῃρήσθωσαν οἱ μ ϟοὶ ἐπεὶ οἱ κ ↑ καὶ οἱ 〈κ〉 ὑπάρξει. Τὰ καταλειπόμενα δυ δύο μο ς. A3 V3 T3. | |
76 | Τετράκις γὰρ τὰ Ϟϛ, τπδ, οἷς προστίθεμεν τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς τῶν ιβ πρὸς τὰ η, λέγε δὴ τὰ ιϛ· γίνεται υ ὁ τετράγωνος ἀριθμός. A2. | |
77 | Σχόλιον εἰς τὸ τριακοστόν. Ὁ πολυπλασιασμὸς ὁ ἐξ ἀριθμοῦ καὶ μο β ὑπάρξεως ἐπὶ ϟ καὶ μο β λείψεως 〈ποιεῖ〉 δυ α ↑ μο δ. Πῶς; ϟὸς εἷς ἐπὶ ϟ α πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ δύναμιν α ὑπάρξεως. Ὁ δὲ αὐτὸς ϟὸς πολυπλασιασθεὶς ἐπὶ μονάδας β ποιεῖ ϟοὺς β ὑπάρξεως, καὶ ἐτελειώθη ὁ πολλαπλασιασμὸς τοῦ α ϟ | |
| 5 | 〈ἐπὶ〉 τὸν α ϟ καὶ μο β. Λοιπόν ἐστι πολλαπλασιάσαι καὶ μο β 〈ἐπὶ〉 ϟὸν 〈α,〉 καὶ ἐτελειώθη ὁ πολυπλασιασμὸς τῶν β ϟ, καὶ ἐτελειώθη 〈ὁ〉 τῶν β μο ἐπὶ 〈ϟοὺς.〉 Λοιπόν ἐστι πολυπλασιάσαι μο β 〈λείψεωσ〉 ἐπὶ μο β ὑπάρξεως καὶ ποιεῖν μο δ λείψεως, καὶ ἐγένετο ὁ πολυπλασιασμὸς αὐτῶν δυ α ϟοὶ β ὑπάρξεως ϟοὶ β λείψεως μο δ λείψεως. Καὶ γίνεται ἡ σύνθεσις αὐτῶν τελεία δυ α | |
| 10 | ὕπαρξις καὶ μο 〈δ〉 λεῖψις. Ταῦτα ἴσα μο Ϟϛ. Κοινὴ ἡ λεῖψις, καὶ γίνεται ἡ 〈σύνθεσισ〉 μο ρ, καὶ ἡ δύναμις τετράγωνος ἀριθμὸς μο ρ. Καὶ γίνεται ἡ πλευρὰ αὐτῶν μο ι. Ταῦτα καὶ ἐγίνετο προσβληθέντα πρὸς ϟ, καὶ γίνεται ὁ ϟὸς μο ι. Ἔσται ἡ ὑπεροχὴ ἡ τῶν μο δ, ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς μο Ϟϛ. A3. | |
78 | Πῶς ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως; Ἔστιν ὁ ἐλάσσων ϟ α, τουτέστι μο β, ὁ δὲ μείζων μο ϛ. Ποιεῖ ἡ σύνθεσις αὐτῶν μο η. Ἡ δὲ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τοῦ β καὶ τοῦ ϛ. Γίνεται τοῦ μὲν β τετράγωνος ὁ δ, τοῦ δὲ ϛ τετράγωνος ὁ λϛ. Καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν γίνεται αἱ μο μ, πενταπλάσιον τῆς | |
| 5 | συνθέσεως αὐτῶν τῶν η, ἐπεὶ πεντάκις ὀκτὼ μ. A3. | |
79 | Οἵ τε ηὑρέθησαν μο γ καὶ μο θ. Καὶ γίνεται ἡ μὲν σύνθεσις αὐτῶν μο ιβ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μο οβ. Οἱ τρεῖς 〈τρίς,〉 θ, καὶ ἐννάκις ἐννέα, πα. A3. | |
80 | Ηὕρηνται ἄρα οἱ β ἀριθμοὶ οἱ ζητούμενοι αἵ τε μο 〈γ〉 καὶ μο θ. Ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν γίνεται μο ϛ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μο οβ, καὶ ἔστι τὰ οβ τῶν ϛ δωδεκαπλάσιον. Πῶς οἱ τετράγωνοι αὐτῶν; Ἐκ τοῦ τρὶς τρεῖς 〈γίνεται〉 θ τετράγωνος, καὶ ἐκ τοῦ ἐννάκις ἐννέα τοῦ μείζονος καὶ τριπλασίου | |
| 5 | ὁ τετράγωνος γίνεται μο πα. Ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλους ἐν λόγῳ δωδεκαπλασίῳ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν ἐλάσσονα, τουτέστι τῆς ὑπεροχῆς τοῦ γ καὶ τοῦ θ. A3. | 692 |
81 | Εἰς τὸ πόρισμα τοῦ ὥστε 〈τὸν〉 ἀπ’ αὐτῶν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον. Πότερον 〈τὸν〉 ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς συναμφότερον 〈λόγον〉 ἔχειν δεδομένον, ἢ τῶν ἀπὸ τῆς συνθέσεως β τετραγώνων πρὸς | |
| 5 | συναμφότερον; Ἀλλ’ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου ἐδείχθη ἐν τῷ λαʹ θεωρήματι, ὥστε τελέως τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον, καὶ πάλιν τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνον πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον. A3. | |
82 | Εἰς τὸ τριακοστὸν πέμπτον. Ἑξάκις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι. Οἷον ἑξάκις οἱ τρεῖς ϟοὶ γίνεται ϟοὶ ιη· ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος 〈γίνεται δυ〉 α. Αὕτη ἄρα ἴση ϟοῖς ιη. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. ϟὸς ἄρα εἷς ἴσος ἐστὶ μο ιη. Ὁ δὲ μείζων ὁ ϟῶν η, μο νδ, ὥστε 〈ὁ ἀπὸ τοῦ〉 | |
| 5 | ἐλάσσονος ὁ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ τκδ ἑξαπλάσιός ἐστι τοῦ μείζονος εὑρεθέντος μο νδ. A3. | |
83 | Ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος 〈τετράγωνος γίνεται〉 δυ α. Πῶς; 〈ϟ α〉 δὲ ἐπὶ ϟ α πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ δυ α. δυ ἄρα α ἑξαπλασίων ἐστὶν ϟοῦ α. Ἑξάκις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τῷ μείζονι. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. Γίνεται ὁ ἀριθμὸς μο ϛ. Ηὕρηνται οἱ β ἀριθμοὶ ὁ ϛ καὶ ὁ ιη, ὁ μὲν μείζων μο ιη, ὁ δὲ ἐλάσσων μο ϛ κατὰ | |
| 5 | τὸ τριπλάσιον. Ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος μο λϛ, καὶ ὁ τετράγωνος ὁ λϛ αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος ὁ ἑξαπλασίων ἐστί, καὶ πλευρᾶς αὐτοῦ ἑξαπλασίων. A3. | |
84 | Ὁμοίως ὁ πολλαπλασιασμὸς τῶν πρὸ αὐτοῦ. A3. | |
85 | Ἀπόδειξις δευτέρα. Ἡ ἴση ὑπεροχὴ λ καὶ λ [Start of a diagram]ζʹ ζʹ ζʹ ρπ ρν ρκ | |
| 5 | ζʹ ζʹ ζʹ λε κα ιε μο μο ϟὸς ζʹ ε γ 〈ιε〉 μέγιστος μέσος ἐλάχιστος[End of a diagram] | |
| 10 | Ἀπόδειξις πρώτη. Ἡ ἴση 〈ὑπεροχὴ〉 ιε καὶ ιε [Start of a diagram]δʹ δʹ δʹ ρλε ρκ ρε δʹ δʹ δʹ | |
| 15 | κ ιε ιβ μο ϟὸς δʹ μο ε ιε γ μέγιστος μέσος ἐλάχιστος[End of a diagram] Ἀπόδειξις τρίτη. | 693 |
| 20 | [Start of a diagram]μο μο 〈μο〉 ρκ Ϟ ξ ϟὸςμο μο μο ιε ε γ μέγιστος μέσος ἐλάχιστος[End of a diagram] A3. | |
86 | ϟοὶ ἄρα η μο λ διπλάσιοί εἰσιν ϟ η. Δὶς ἄρα τὰ ἡμίσεα ἴσα ἐστὶ τοῖς διπλασίοις· πολλαπλασιασθεὶς δὲ ὁ μέσος, ὅστις ἐστὶ μο η, γίνεται ϟοὶ ιϛ. Καὶ ἴσαζε εἰς τόν τε μείζονα καὶ τὸν ἐλάσσονα οἵτινες συνείλουσιν ϟ η μο λ. A3. | |
87 | Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. Καὶ γίνονται ἀριθμοὶ μο ιε. ϟοὶ ἄρα ζ ἴσοι εἰσὶ ιε μονάσι, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς ιε 〈ζʹ〉 μονάδος. A3. | |
88 | Ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ϟοὶ ἄρα η ἴσοι μονάσι λ· ὁ ἀριθμὸς ἄρα μο γ καὶ γ δʹ. Κείσθω μέσος οὗτος. Συγκειμένων οὖν τῶν δύο ἀριθμῶν τοῦ 〈τε γ〉 καὶ τοῦ γ καὶ τῶν τριῶν δʹ, καὶ πολλαπλασιασθήσονται μετὰ τοῦ ε· ἀποτελεσθήσονται λ καὶ ιε δʹ, ἤτοι λγ καὶ τρία δʹ. Συντεθέντων δὲ τῶν β | |
| 5 | 〈ἀριθμῶν τοῦ τε〉 τρία καὶ γ δʹ καὶ τοῦ ε, καὶ πολλαπλασιασθέντων μετὰ τοῦ τρία, ἀποτελεσθήσονται κϛ δʹ. Πάλιν συντεθέντων τοῦ τε 〈γ καὶ τοῦ ε,〉 καὶ πολλαπλασιασθέντων μετὰ τοῦ γ καὶ τῶν γ δʹ, ἀποτελεσθήσονται λ. Κείσθω οὗτος μέσος τῶν λγ 〈καὶ γ〉 δʹ καὶ τοῦ κϛ 〈δʹ.〉 Ἔσονται ἄρα οἱ τρεῖς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ. A4. | |
89 | Συντεθέντων 〈γὰρ σὺν δύο καὶ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ τρὶς πολλαπλασια‐ σθέντων, ἀποτελεσθήσονται ρπ ζʹ, ρν ζʹ, ρκ ζʹ,〉 οἵτινες ἀριθμοί εἰσιν ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ. A4. | |
90 | Συντεθέντων γὰρ σὺν δύο καὶ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ τρὶς πολλαπλασιασθέντων, ἀποτελεσθήσονται ρκ, Ϟ, ξ, οἵ εἰσιν ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ. A4. | |
91 | Ἐὰν μέγιστος ὑποτιθεὶς τὸν μέσον μὲν μο κ ἐλάχιστον 〈δὲ〉 μο η οὐ 〈πρόσθεν〉 χρειῶδες, ὅτι 〈ἡ〉 ὑπεροχὴ τοῦ μέσου 〈πρὸσ〉 τὸν ἐλάχιστον μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλαχίστου. Λοιπὸν δεῖ τοῦ προσδιορισμοῦ τὸν ἐλάσσονα εἶναι τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάσσονα τοῦ ἐλαχίστου. A3. | |
92 | Δεήσει ἄρα δυ δύο ἑξαπλασίους εἶναι ἀριθμῶν τριῶν. ϟοὶ ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶ δυσὶ δυνάμεσι. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. μο ἄρα ιη ἴσαι εἰσὶ δυσὶν ἀριθμοῖς. A4. | |
93 | Ἐὰν γὰρ ὁ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνος μὴ ἐλάσσων ᾖ συναμφοτέρου (αὐτόν τέ φημι τὸν τῆς ὑπεροχῆς καὶ τοῦ διδομένου ὑπερέχειν τὸν ἀπ’ αὐτῶν πρὸς τὴν αὐτῶν ὑπεροχήν), οὐ προβαίνει ἡ δεῖξις. Εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ | |
| ἔστω ἐλάσσων ὁ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν, οὔσης 〈ταύτης μο〉 ϛ, τῆς δὲ | 694 | |
| 5 | ὑπεροχῆς τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερεχούσης μο κ· μείζων γὰρ ὁ λϛ τοῦ ϛ καὶ κ. Καὶ τετάχθω ὁ ἐλάσσων ϟοῦ ἑνός, 〈ὁ δὲ μείζων〉 ϟοῦ ἑνὸς μο ϛ· καὶ μένει ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν μο ϛ, ἡ δὲ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴ ϟοὶ ιβ μο λϛ. Δεήσει ἄρα ϟοὺς ιβ μο λϛ 〈ἴσους εἶναι〉 μο ϛ καὶ μο κ, ὅπερ 〈ἄτοπον·〉 μόναι γὰρ αἱ λϛ μο τῶν ϛ μο ὑπερέχουσι μονάδας λ. | |
| 10 | A4. | |
94 | Εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ ἔστω ὁ 〈ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆσ〉 αὐτῶν τετράγωνος ἐλάσσων τοῦ συναμφοτέρου τοῦ τε τριπλασίονος τῆς ὑπεροχῆς καὶ 〈τῶν〉 μο, καὶ ἔστω ἡ τῶν ϟῶν ὑπεροχὴ μο ϛ 〈Ὁ〉 ἄρα ἀπὸ τῶν ϛ, λϛ, ὃς μείζων τοῦ 〈τριπλασίονοσ〉 τῆς ὑπεροχῆς, ἤτοι τῶν ιη, καὶ τῶν δοθείσων ἑτέρων ι μο. | |
| 5 | Καὶ τῆς δείξεως προβάσεως δεήσει τοὺς ϟοὺς 〈ιβ〉 μο λϛ τριπλασίονας εἶναι μο ϛ καὶ ἔτι 〈ὑπερέχειν〉 μο ι· τρὶς ἄρα μο 〈ϛ καὶ ἔτι μο ι〉 ἴσαι εἰσὶν ϟοῖς ιβ μο 〈λϛ, ὅπερ ἄτοπον·〉 μόναι γὰρ αἱ λϛ μο 〈τῶν κβ μείζονες.〉 Αὕτη γὰρ ἡ τῶν τετραγώνων ὑπεροχή· ϟὸς 〈γὰρ〉 ἐπ’ ἀριθμὸν ποιεῖ δύναμιν· αὕτη ὁ 〈ἀπὸ τοῦ〉 ἐλάττονος τετράγωνος· ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ μείζονος | |
| 10 | ἀριθμοὶ δ καὶ μο δ· ἀριθμὸς γὰρ ἐπ’ ἀριθμὸν ποιεῖ δύναμιν· καὶ ϟὸς 〈ἐπὶ〉 δύο, β ϟούς, καὶ δύο μο ἐπὶ ϟόν, β 〈ϟούς,〉 καὶ β μο 〈ἐπὶ〉 δύο μονάδας, δ, ὥστε δυ μία ϟοὶ δ μο 〈δ〉 ὑπερέχουσι δυ μιᾶς ϟ 〈δ〉 μο τέσσαρσιν. A. | |
95 | Ἡ ψυχή σου, Διόφαντε, εἴη μετὰ τοῦ Σατανᾶ ἕνεκα τῆς δυσκολίας τῶν τε ἄλλων σου θεωρημάτων καὶ δὴ καὶ τοῦ παρόντος θεωρήματος. A5. | |
96 | Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ϟοὶ ἄρα η ἴσοι δυνάμεσι ε. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. Μονάδες ἄρα ὅλαι 〈εἰσὶν〉 ἴσαι ἀριθμοῖς ε. Ἀναλυθέντων αἱ ὀκτὼ μονάδες εἰς πέμπτα· μ ἄρα πέμπτα 〈ἴσα ἐστὶ〉 ἀριθμοῖς ε· ϟὸς ἄρα ὀκτὼ 〈πέμπτα.〉 A4. | |
97 | Καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια ἀφῃρήσθω. μο ἄρα να ἴσαι ϟοῖς ϛ. A4. | |
98 | Διὰ τί ἔλαβε μο δ καὶ μο δʹ τὰ ποιοῦντα 〈μονάδα,〉 καὶ οὐχὶ μο γ καὶ μο 〈γʹ〉; Ταῦτα γὰρ οὖν ἐκεῖνα πολλαπλασιαζόμενα 〈μονάδα〉 ποιοῦσι. Ζητῶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ τοιούτου προβλήματος. Καὶ εἰς 〈ἕτερα〉 σχόλια εὑρήσεις. A4 (522—523 Καὶ—εὑρήσεις A7). | |
99 | Διπλοισότης διὰ τοῦτο καλεῖται ὅτι ἐν 〈μὲν〉 τοῖς λοιποῖς προβλήμασιν ἁπλῆ ἐγίνετο ἡ ἰσότης δι’ ἣν ἡ τοῦ ϟοῦ ποσότης εὑρίσκετο, ἐνταῦθα δὲ διπλῆ. Πρῶτον μὲν γὰρ τὸ τῆς ὑπεροχῆς ἥμισυ ἣν ἔχει ὁ ἕτερος τῶν ποιούντων τὴν ὑπεροχὴν ϟῶν πρὸς τὸν ἕτερον ἐφ’ ἑαυτὸ πολλαπλασιασθὲν ἰσοῦται τῷ | |
| 5 | ἐλάττονι, εἶτα καὶ τῆς συνθέσεως τούτων τὸ ἥμισυ ἐφ’ ἑαυτὸ ἰσοῦται τῷ μείζονι. Ἔστι δὲ ἡ ὑπεροχὴ τῶν δ μο 〈πρὸς τὸ〉 δʹ, ιε δʹ· τούτων τὸ ἥμισυ, ζ δʹ καὶ ὄγδοον. Ταῦτα ἀναλυθέντα εἰς ὄγδοα ποιοῦσι ιε ὄγδοα. Ταῦτα 〈ἐφ’〉 ἑαυτὰ ποιεῖ 〈σκε〉 ἑξηκοστοτέταρτα· ταῦτα ἴσα τῷ ἐλάττονι. Τῆς δὲ συνθέσεως τὸ 𐅵ʹ, ἤτοι τῶν δ μονάδων καὶ τοῦ 〈τετάρτου,〉 ὀκτὼ | |
| 10 | 〈τέταρτα〉 καὶ ὄγδοον, ἤτοι ιζ ὄγδοα. Ταῦτα ἐφ’ ἑαυτὰ γίνεται σπθ | |
| ἑξηκοστοτέταρτα· ταῦτα ἴσα 〈τῷ μείζονι.〉 A5. | 695 | |
100 | 〈Πολλαπλασιασθέντων γὰρ τῶν ιε τετάρτων〉 ἐφ’ ἑαυτά, καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων 〈σκε〉 ἑξηκοστοτετάρτων ἀφαιρουμένων ρκη ἑξηκοστοτε‐ τάρτων, ἤτοι μονάδων δύο, καταλειπόμενα Ϟζ ἑξηκοστοτέταρτα ἔσται ὁ προστιθέμενος. A5. | |
101 | Προστιθέμενα γὰρ τὰ Ϟζ ξδʹ τοῖς ρκη ξδʹ, ἤτοι ταῖς δυσὶ μο, καὶ τοῖς ρϞβ ξδʹ, ἤτοι τοῖς τρισὶ μο, γίνονται σκε καὶ σπθ ξδʹ, ἅτινά εἰσι τετράγωνοι ϟοί. A4. | |
102 | Λοιπὸς ὁ ϟ οὖν ὁ δύναμις ὢν δηλονότι μία ↑ μο β ἐστὶν ὁ ζητούμενος ὃς 〈προστίθεται.〉 A5. | |
103 | Τουτέστι τὴν ὑφισταμένην δύναμιν. Ὑφισταμένη δὲ δύναμίς ἐστιν ἡ ἀπὸ ϟ εὑρεθέντος τόσου μετὰ τὴν ὑπόστασιν γινομένη. Ἐὰν γὰρ ἀπὸ ϟ α ↑ μο τριῶν πλασθῇ ὁ τετράγωνος, οὐχ ὑπερβαλεῖται ἡ ἀπὸ τοῦ εὑρεθέντος ϟοῦ δύναμις τὰς δύο μονάδας· ἡ γὰρ ἀπὸ ϟοῦ α μογ δύναμις γίνεται δύναμις μία μο θ ↑ ϟῶν ϛ. | |
| 5 | Καὶ κοινῆς προστεθείσης τῆς λείψεως μετὰ τὴν τῶν ὁμοίων ἀπὸ ὁμοίων ἀφαίρεσιν. 〈γίνεται〉 ὁ ϟ ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις δ γʹ, καὶ ἡ ἀπ’ αὐτῶν ὑφισταμένη δύναμις ιϛ θʹ, ἅτινα οὐχ ὑπερβάλλει 〈τὰς δύο μονάδας·〉 δύο μονάδες γὰρ ιη θʹ εἰσιν, ὥστε οὐ προβήσεται ἡ ἀπόδειξις. Ἐὰν δὲ ἀπὸ ϟοῦ ἑνὸς ↑ μο δ πλασθῇ 〈ὁ τετράγωνος, ἡ ἀπὸ〉 τοῦ εὑρεθέντος ϟοῦ μετὰ τὴν ὑπόστασιν ιε | |
| 10 | ὀγδόων ὑφισταμένη δύναμις ὑπερβαλεῖται τὰς μονάδας δύο. A5. | |
104 | Ἔσται δὲ τούτων τῶν ὀγδόων πολλαπλασιασθέντων ἐφ’ ἑαυτά, ἤτοι τῶν ιε ηʹ, ↑ 〈ρκη〉 ξδʹ, ἤτοι δύο μο. A4. | |
105 | Ἡ γὰρ δύναμις 〈γίνεται〉 σκε ἑξηκοστοτέταρτα 〈ἀπὸ τοῦ εὑρεθέντος ϟοῦ ιε〉 ἑξηκοστοτετάρτων, καὶ ὑπερβαλεῖται ἡ τοιαύτη δύναμις τὰς δύο μονάδας. Καὶ ἀφαιρουμένων ἐξ αὐτῆς τῶν δύο μονάδων, καταλείπεταί τι 〈ὃ〉 ἔσται τὸ προστεθησόμενον ταῖς δυσὶ μονάσι καὶ ποιήσει τὸν ὄλον | |
| 5 | τετράγωνον. A5. | |
106 | Ἐπεὶ δυ ιϛ ξδʹ 〈ἀφαιρεθείσης ἀπὸ〉 μὲν τῶν θ μο, μο θ ↑ δυ μιᾶς, ἤτοι φξ ξδʹ καταλειφθήσονται, ἀπὸ δὲ τῶν κα μο, ἤτοι ͵ατμδ ξδʹ, τῶν φξ ξδʹ. καταλειφθήσονται ψπδ 〈ξδʹ, ὅλοσ〉 τετράγωνος. A4. | |
107 | Μονάδες ἄρα θ ↑ δυ μιᾶς ἀφαιρεθεῖσαι 〈ἀπὸ〉 τοῦ θ, καταλείπουσι δύναμιν μίαν. A5. | |
108 | Ἡ γὰρ ἀπὸ ϟοῦ α ↑ μο δ δύναμις ὑπερβάλλει τὰς ιβ μο· ἐκείνη γάρ ἐστι δυ μία μο ιϛ ↑ ϟῶν η Κἀνταῦθα οὖν εἰ ἀπὸ ϟοῦ α ↑ μο τριῶν ἐπλάσθη ὁ τετράγωνος, οὐκ ἄν 〈προύβη〉 τὰ τῆς 〈ἀποδείξεως.〉 Ὁ γὰρ ἀπὸ ϟοῦ α ↑ μονάδων τριῶν τετράγωνος γίνεται δυ μία μο θ ↑ ϟῶν ϛ, ὥστε κοινῆς τῆς λείψεως | |
| 5 | προστεθείσης, γίνεται δύναμις μία ϟῶν ϛ μο ιβ ἴση δυ μιᾶ μονάσι θ. A5. | |
109 | Ἐπεὶ ὁ εἷς δυ μία, ἤτοι κε ιϛʹ, καὶ ϛ μο, ἤτοι Ϟϛ ιϛʹ, ὁ δὲ ἕτερος δυ μία ↑ μο μιᾶς, ἤτοι θ ιϛʹ, καὶ μο ζ, ἤτοι ριβ ιϛʹ, ὁ ἑκατέρωθεν συνάμφω ρκα ιϛ ἀφαιρεθείσων οὖν τῶν Ϟϛ 〈ιϛʹ, καταλειφθήσεται〉 κε ιϛʹ. A4. | |
110 | Ἡ δεῖξις μετὰ τὴν ἐν τῷ ιγʹ θεωρήματι δήλη. Ἐπεὶ ϟὸν α μο ϛ ϟο α ↑ μο ζ ὑπερέχει 〈μονάδοσ〉 μιᾶς, 〈ζητοῦμεν ἀριθμοὺς ἀνίσουσ〉 ἵνα τὸ ὑπ’ αὐτῶν ποιῇ τὴν ὑπεροχήν· ἔστωσαν μο β καὶ μο τὸ 𐅵ʹ· τὸ 𐅵ʹ τῆς ὑπεροχῆς τριῶν 〈τετάρτων· ταῦτα〉 ἐφ’ ἑαυτὰ γίνεται ἴσα τῷ ἐλάττονι. Ὡσαύτως καὶ | 696 |
| 5 | τὸ 𐅵ʹ τῆς συνθέσεως ἐφ’ ἑαυτὸ γίνεται ἴσον τῷ μείζονι. 〈Τὸ δὲ 𐅵ʹ ἐφ’ ἑαυτὸ〉 τῆς ὑπεροχῆς, ἤτοι γ δʹ, γίνεται θ ἑξκαιδέκατα, ὥστε ἐὰν προστεθῶσι αὐτῷ αἱ 〈μο ζ, ἤτοι ριβ ιϛʹ γίνεται ρκα ιϛʹ, ὅπερ ἐστὶν ὁ ζητούμενος ἀριθμός.〉 A5. | |
111 | 〈Ἐὰν ἀπὸ τῶν ρκα ιϛʹ ἀφαιρεθῶσι μο ζ, ἤτοι ριβ ιϛʹ, καταλείπεται〉 θ ιϛ τετράγωνος πλευρὰν ἔχων τὰ γ δʹ. Πάλιν ἐπεὶ τὸ τῆς συνθέσεως τῶν β μο καὶ τοῦ 𐅵ʹ, ἤτοι ε δʹ, ἐφ’ ἑαυτὸ 〈πολλαπλασιασθῇ, γίνεται κε〉 ἑξκαιδέκατα. Ἐὰν προστεθῶσι τούτοις αἱ λείπουσαι μο ϛ, ἤτοι Ϟϛ ιϛʹ, γίνεται πάλιν ὁ ὅλος ϟὸς | |
| 5 | ρκα ιϛʹ, ὥστε ἀφαιρουμένων τῶν Ϟϛ ιϛʹ, καταλείπονται πάλιν κε ιϛʹ ἔχοντα πλευρὰν τετραγωνικὴν ε δʹ. Πλασθήσεται οὖν κἀνταῦθα ὁ τετράγωνος ὥστε ἴση δύναμις μία ↑ μο μιᾶς ἀπὸ ϟοῦ α καὶ ↑ πλειόνων μονάδων· οὕτω γὰρ προβήσεται τὰ τῆς ἀποδείξεως. Εἰ γὰρ πλασθήσεται καὶ οὗτος ἀπὸ ϟ α ↑ μονάδος μιᾶς, εὑρεθήσεται δύναμις μία ↑ ϟῶν β μο μιᾶς ἴση δυνάμει μιᾷ ↑ μονάδος μιᾶς, ὅπερ | |
| 10 | ἀδύνατον. A5. | |
112 | Εἴπερ ὁ κ καὶ δοθήσεται ὁ διαιρεθησόμενος εἰς δύο ἀριθμούς, ὀφείλουσιν οἱ ἀπ’ αὐτῶν τῶν διῃρημένων δύο ϟῶν τετράγωνοι μὴ ὑπερβάλλειν τὸν κ, ὥσπερ οἱ ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων ϟῶν, τοῦ δύο λέγω καὶ τοῦ τρία. Οἱ γὰρ ἀπὸ τοῦ τρία καὶ δ ὑπερβάλλουσι τὸν κ. 〈ϟὸς μὲν εἷσ〉 μονάδες τρεῖς 〈πολλαπλασιασθέντεσ〉 | |
| 5 | ἐφ’ ἑαυτοὺς ποιοῦσι δύναμιν μίαν ϟοὺς ϛ μο θ· ϟὸς δὲ εἷς μο δ ἐφ’ ἑαυτοὺς πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι δύναμιν μίαν ϟοὺς η μο ιϛ. Ἀφαιρουμένων οὖν τῶν δυνάμεων, ἡ σύνθεσις τῶν ϟῶν ὑπερβάλλει τὸν κ μο 〈ε, ἀλλὰ δεῖ〉 τοὺς δύο ποιεῖν τὸν κ. A5. | |
113 | ἐπεὶ ὁ ϟὸς ἑπτὰ δεκάτων, ὁ ἀπ’ αὐτοῦ μθ ἑκατοστῶν, ἀναλυθήσεται ὁ ξη δεκάτων καὶ ρλβ δεκάτων, οἵτινές εἰσι μο κ, εἰς ἑκατοστά· γενήσεται ὁ μὲν χπ, ὁ δὲ ͵ατκ ἑκατοστῶν. Προσκείσθω τούτοις ὁ μθ ἑκατοστῶν. ἔσται ὁ μὲν ψκθ ἑκατοστῶν, ὃς τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς κζ ιʹ, ὁ δὲ ͵ατξθ, ὃς ἀπὸ πλευρᾶς 〈λζ | |
| 5 | ιʹ.〉 A4. | |
114 | Ἀπὸ τῶν χκε λϛʹ ἀφαιρουμένων υνϛ λϛʹ, λείπεται ρξθ· ἀφαιρουμένων δὲ σξδ, λείπεται τξα. A2. | |
115 | Ὁ χκε τετράγωνος γίνεται οὕτως· ἐπεὶ ὁ ἀριθμός ἐστι ιγ ϛʹ, γίνεται ἡ δύναμις ρξθ λϛʹ, οἱ δὲ δ ἀριθμοὶ τιβ λϛʹ, αἱ δὲ δ μονάδες ρμδ λϛʹ, ἤτοι χκε. A2. | |
116 | 〈Πλασθήσεται ἄρα ὁ τετράγωνος ἀπὸ ϟ β ↑ μο γ, ἤτοι δυ δ μο θ ↑ ϟ ιβ〉 γενήσεται. Γενήσεται γὰρ μία δύναμις· εἰσὶ δὲ γ. Λοιπὸν ἀπὸ δύο, ἵνα πλεονασάσων τῶν δυνάμεων ἐλλείψωσιν οἱ ϟοἱ. Γενήσεται δὲ καὶ ἡ αὐτὴ τῶν μονάδων ποσότης. Γίνονται οὖν δυ δ μονάδες θ ↑ ϟῶν ιβ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ | |
| 5 | λεῖψις. δυ ἄρα γ ϟοὶ λ μο θ ἴσα δυνάμεσι δ μονάσιν θ. Ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Πάντα | |
| παρὰ ἀριθμόν. ϟὸς ἄρα εἷς ἴσος μονάσι λ. A5. | 697 | |
117 | Ἐπεὶ ἐπετάχθη ὡς μετὰ τοῦ δοθέντος τετραγώνου τοῦ θ δηλαδὴ ποιεῖ τετράγωνον, λοιπὸν ὁ ἐλάττων ἐξ αὐτῶν ἔσται δυ μία ϟ ϛ, ἵνα προσθέσει τοῦ θ γένηται τετράγωνος· ἀπὸ τετραγώνου 〈γὰρ〉 δυ μία ϟ ϛ μο θ ἐγίνετο ὡς ἀπὸ πλευρᾶς ϟοῦ ἑνὸς μο γ, καὶ αὐτοῦ ἀφελὼν τὰς θ μονάδας καταλείπεται δυ μία ϟ ϛ, | |
| 5 | ὥστε πρῶτον εἶναι ὁ προστιθέμενος αὐταῖς ταῖς θ μονάσι· τετυχὼς ἔσται ἀπὸ πλευρᾶς ϟοῦ ἑνὸς μο τριῶν. A5. | |
118 | Κοινὴ προσκείσθω 〈ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ〉 ὁμοίων 〈ὅμοια.〉 Καταλείπονται 〈ϟοὶ ιη ἴσοι μο ζ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸσ〉 ιη ζʹ. Ὁ πρῶτος ὑπετέθη ϟῶν ε· ἔσεται Ϟ ζʹ. Ὁ δεύτερος ϟῶν ϛ· ἔσεται οὖν ρη ζʹ. A5. | |
119 | Τὸ ζʹ ἦν ϟῶν β ↑ μο γ. Δοὺς οὖν αὐτὸ τῷ πρώτῳ καταλείπεται ἔχων ϟ ιβ 〈↑〉 μο ιη. Ἀλλὰ καὶ η μο δέδωκε τῷ πρώτῳ. Λοιπὸν γίνεται ϟ ιβ ↑ μο κϛ. A5. | |
120 | Ἐπεὶ γὰρ ὁ τρίτος ϟ ιδ, ἤτοι σνβ ζʹ, ↑ μο κα, ἤτοι ζʹ ρμζ, ἔστιν ἑκατὸν ε· ἐκβλήθη γὰρ ἀπὸ τῶν σνβ 〈ζʹ〉 ἑκατὸν ε ζʹ· ταῦτα καταλείπονται. A4. | |
121 | Δοὺς μὲν ὁ δεύτερος τὸ ἕκτον αὐτοῦ τῷ τρίτῳ, ἤτοι 〈ιη〉 ζʹ, καὶ μο ζʹ, ἤτοι μθ ζʹ, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ πρώτου τὸ πέμπτον αὐτοῦ, ἤτοι τὰ ιη ζʹ, καὶ μο ϛ, ἤτοι μβ ζʹ, καταλείπεται ρα ζʹ. Δοὺς δὲ ὁ πρῶτος τῷ δευτέρῳ τὰ ξ ζʹ (μβ γὰρ 〈καὶ〉 ιη ποιοῦσιν ξ), λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ τρίτου 〈η〉 μο, ἤτοι νϛ ζʹ, καὶ | |
| 5 | τὸ ζʹ αὐτοῦ, ἤτοι ιε 〈ζʹ,〉 γίνεται ρα· τοῖς γὰρ λ προστεθέντα τὰ 〈οα, γίνεται〉 ρα. ρα ποιήσουσιν ὁμοίως καὶ ὁ τρίτος 〈λαβὼν〉 παρὰ τοῦ μέσου ξζ ζʹ, δοὺς δὲ τῷ 〈πρώτῳ〉 τὰ οα· καταλείπεται ἕβδομα ρα. A4. | |
122 | Εὑρίσκεται ὁ ἀριθμὸς οὕτως. Συντιθέμενοι οἱ τρεῖς ἀριθμοὶ ποιοῦσιν χιε. Ταῦτα ἐπὶ τὸν π (οὗτος γὰρ ὑπετέθη περισθῆναι) γίνεται μ͵θς, καὶ οἱ γ ἐπὶ τὸν αὐτὸν π γίνεται ὡσαύτως μ͵θς. A4. | |
123 | 〈Δεῖ οὖν τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνον προσλαβόντα τὸν ἐλάττονα〉 ἴσον εἶναι τετραγώνῳ. Ἀλλὰ προσλαβόντος τὸν ἐλάττονα, γίνεται δυ δ ϟ ε μο μιᾶς. Ταῦτα ἴσα τῷ πλασθέντι. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Καταλείπονται μονάδες τρεῖς ἴσαι ϟ ιγ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς γ | |
| 5 | 〈ιγʹ.〉 Ἔσται ἄρα ὁ ἐλάττων ἀριθμὸς τριῶν ιγʹ, ὁ μείζων ιθ ιγʹ, ὅσπερ γὰρ ϟ β καὶ μο μιᾶς· ἀναλυθείσης οὖν καὶ τῆς μονάδος εἰς ιγ ιγʹ, γίνεται τὰ ὅλα ιθ ιγʹ. A5. | |
124 | Οὕτω τρὶς τὰ τρία ιγʹ, 〈θ〉 ἑκατοστοεξηκοστοέννατα. Τρισκαιδεκά‐ κις τὰ ιθ, σμζ ρξθʹ· ὁμοῦ σνϛ. Καὶ αὖθις 〈ἐννεακαιδεκάκισ〉 ιθ, τξα ρξθʹ, καὶ τρὶς ιγ, λθ· ὁμοῦ υ. A4. | |
125 | Οἱ γὰρ β ϟοὶ καὶ ἡ μία 〈μο〉 τετραγωνιζομένη ποιεῖ δυ δ ϟ δ μο α. Εἰ γὰρ ἀπὸ τῶν β ϟῶν πλασθήσεται, γενήσονται δυνάμεις δ. Πλασθεὶς οὖν ἀπὸ τῶν τριῶν ϟῶν ποιεῖ δυ θ. Ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Καταλείπονται δυ ε ἴσαι ϟ τρισί. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. ϟ ἄρα ε ἴσοι μονάσι τρισί, καὶ γίνεται 〈ὁ〉 ἀριθμὸς | |
| 5 | τριῶν εʹ. A5. | 698 |
126 | 〈Πλασθήσεται ἄρα ὁ τετράγωνος ἀπὸ ϟ α ↑ μο γ· γίνεται οὖν δυ α μο θ ↑ ϟ ϛ〉 Ταῦτα ἴσα δυ μιᾷ ↑ ϟῶν β μο μιᾶς. Κοινῆς προστιθεμένης τῆς λείψεως καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὁμοίων, καταλείπονται ϟ β ἴσοι μονάσι πέντε. A5. | |
127 | Δέον τις ἔλεξε μείζονα ϟ α μο μιᾶς. Ὁ γὰρ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος γίνεται δυ μιᾶς ϟ β μο μιᾶς. ↑ οὖν ϟ δύο μονάδος μιᾶς, ὅπερ ἐστὶ ὁ συναμφότερος, καταλείπεται δυ μία. A5. | |
128 | Ἀναλυθέντες οὖν καὶ οἱ τρεῖς τετράγωνοι, ἤτοι τὰ γ ἑκατοστοεικοσ‐ τόπρωτα εἰς μυριοστοτετρακισχιλιοστοεξακοσιοστοτεσσαρακοστόπρωτα τξγ καὶ προστεθέντα τοῖς ρκα τοιούτοις μορίοις γενήσεται υπδ ἅτινά εἰσι τετράγωνα ἀπὸ πλευρᾶς κβ ἑκατοστοεικοστοπρώτων. Ὁμοίως ἀναλυθέντες καὶ οἱ η τετράγω‐ | |
| 5 | νοι, ἤτοι τὰ η ἑκατοστοεικοστόπρωτα, εἰς μυριοστοτετρακισχιλιοστοεξακοσιοσ‐ τοτεσσαρακοστόπρωτα ϡξη καὶ προστεθέντα τοῖς ρκα τοιούτοις μορίοις γενήσεται χίλια ὀγδοήκοντα ἐννέα ἅτινά εἰσι τετράγωνα ἀπὸ πλευρᾶς λγ ἑκατοστοεικοστοπρώτων. A6. | |
129 | Δεῖ δὴ τὸν ιθ τετραγωνισθῆναι, ἵνα πλευρὰν ἔχων συγκρίνω ταύτην μετὰ τῆς τοῦ ιϛ πλευρᾶς· γίνεται οὖν τξα 〈δυναμοδυνάμεων〉 οὗ ἡ πλευρὰ δυ ιθ ἴση τῇ τοῦ ιϛ πλευρᾷ ἀριθμῶν δ. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. Καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς δ ιθʹ. A4. | |
130 | Ἐπεὶ γὰρ ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου τξα δυδ ἴσος δυ ιϛ, καὶ ἡ πλευρὰ ἴση 〈τῇ πλευρᾷ,〉 ἤτοι αἱ ιθ δυ τοῖς τέτρασιν ϟοῖς. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. ϟοὶ ἄρα ιθ ἴσοι μονάσι τέτρασιν· ὁ ἀριθμὸς ἄρα τέσσαρα ιθʹ. Ἔσται ὁ μὲν πρῶτος, ἐπεὶ ιβ δυ, ρϞβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων (ἡ γὰρ 〈πλευρὰ〉 αἱ δυνάμεις τοιούτων | |
| 5 | μορίων δεκαέξ), 〈ὁ δὲ〉 δεύτερος, ἐπεὶ δυνάμεων ἑπτά, ἑκατὸν δώδεκα τοιούτων μορίων. Ἐπεὶ γοῦν συναμφότερος τδ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων, ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου αὐτῶν ἐννέα μυριάδων δισχιλίων τετρακοσίων δεκαὲξ τρισκαι‐ δεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστοπρώτων. Λείψει γοῦν τῶν ριβ τριακοσιοσ‐ τοεξηκοστοπρώτων ἀναλυθέντων εἰς τετρακισμύρια υλβ τρισκαιδεκακισμυριοσ‐ | |
| 10 | τοτριακοσιοστοεικοστόπρωτα, λοιπὰ πεντακισμύρια χίλια ϡπδ, ἅτινά εἰσιν ϟὸς τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς σκη τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων. Ὁμοίως καὶ ↑ τῶν ἑκατὸν Ϟβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων ἀναλυθέντων καὶ αὐτῶν εἰς ἑξακισ‐ μύρια ἐννακισχίλια τριακόσια ιβ τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστό‐ πρωτα, λοιπὰ δύο μυριάδες τρισχίλια ἑκατὸν τέσσαρα ἅτινά εἰσι τετράγωνα ἀπὸ | |
| 15 | πλευρᾶς ἑκατὸν πεντήκοντα δύο τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων. A6. | |
131 | 〈Ἐπεὶ μὲν ὁ ὑπ’ αὐτῶν〉 γίνεται δυ δ ↑ ϟοῦ α, προσλήψει γοῦν τοῦ ἐλάττονος ϟοῦ ἑνὸς γίνονται δυ δ. Ἐπεὶ δὲ ὁ ὑπ’ αὐτῶν προσλήψει τοῦ μείζονος, ὁ δὲ ὑπ’ αὐτῶν ἐστι δυ δ ϟοῦ ἑνός, προσλαβὼν δὲ τὸν μείζονα ϟοὺς δ ↑ μο α γίνεται δυ δ ϟ γ ↑ μονάδος μιᾶς. A5. | |
132 | Αἱ πλευραὶ τῶν τετραγώνων τοῦ μὲν οδ εἰκοστοεβδόμων, τοῦ δὲ πη, αἱ | |
| συντιθέμεναι ποιοῦσι μο ϛ. A5. | 699 | |
133 | Πολλαπλασιασθέντα γὰρ τὰ 〈λζ〉 κζʹ ἐπὶ τὰ ρκα, καὶ γίνεται τὰ ͵δυοζ ἑπτακοσιοστοεικοστοέννατα. Καὶ προσλαβόντα πρὸς μὲν τὰ ἐλάττονα τὰ λζ καὶ τὰ 〈μείζονα〉 ρκα κζʹ ἀναλυθέντα καὶ αὐτὰ εἰς ἑπτακοσιοστοεικοστοέν‐ νατα ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. Ἡ γὰρ πλευρὰ τοῦ ἑνὸς τετραγώνου πη | |
| 5 | εἰκοστοέβδομα, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου ἑβδομήκοντα καὶ τέσσαρα, ἃ συντεθέντα ποιοῦσι μονάδας ἕξ. A5. | |
134 | 〈Ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν〉 αἱ δυνάμεις αἱ τέσσαρες καὶ οἱ τρεῖς ἀριθμοὶ ↑ μονάδος μιᾶς, καὶ αἱ τέσσαρες δυνάμεις ↑ κδ ϟ καὶ μο λϛ, καὶ κοινῆς προσκειμένης τῆς τῶν κδ ἀριθμῶν λείψεως καὶ τῆς μιᾶς μονάδος, γενήσεται κζ ἀριθμοὶ ἴσοι λζ μονάσι, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς λζ 〈εἰκοστοέβδομα.〉 A4. | |
135 | 〈Ἐπεὶ ὁ εἷς δυνάμεις ἦν ιϛ,〉 καὶ ἐπεὶ ὁ ϟὸς ζ κδʹ, ἡ δύναμις ἄρα φοϛʹ μθ, καὶ ἐπεὶ πάλιν ὁ ἕτερος δυνάμεις ἦν θ, πάντα ἑξκαιδεκάκις ἀπὸ πλευρᾶς τριῶν τετάρτων. Ἔσεται πάλιν τούτου τὰ τρία τέταρτα τῶν κδ εἰκοστοτε‐ τάρτων, ἤτοι τὰ 〈ιη〉 κδʹ. Καὶ εἰς ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι τκδ | |
| 5 | πεντακοσιοστοεβδομηκοστόεκτα. Ὁ ὑπ’ αὐτῶν μυριὰς ε χίλια ὀκτακόσια οϛ τριακοντατρισμυριοστοχιλιοστοεπτακοσιοστοεβδομηκοστόεκτα. Προσλήψει δὲ τῶν μθ φοϛʹ ἀναλυθέντων εἰς δύο μυριάδας ὀκτακισχίλια σκδ τριακοντατρισμυ‐ ριοστοχιλιοστοεπτακοσιοστοενδιμηκοστόεκτα, γίνεται ὁ ὅλος τούτων ὁ δ μυριάδες ͵δρ· τοιούτου καὶ ἔστι τετράγωνος πλευρὰν ἔχων τὰ σι φοϛʹ. | |
| 10 | Προσλήψει δὲ τῶν τκδ φοϛʹ ἀναλυθέντων εἰς ὀκτωκαίδεκα μυριάδας καὶ ͵ϛχκδ τριακοντατρισμυριοστοχιλιοστοεπτακοσιοστοεβδομηκοστόεκτα, γίνεται ὁ ὅλος ὁ εἴκοσι μυριάδες ͵βφ, καὶ τοιούτου καὶ ἔστι τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς τῶν υν πεντακοσιοστοεβδομηκοστοέκτων. A4. | |
136 | Τοῦ ἄρα ὑπ’ αὐτῶν δηλαδή, ἤτοι τῶν ρμδ σνϛʹ, ταὐτὸν δεῖ ποιεῖν θ ιϛʹ καὶ τοῦ δευτέρου, ἤτοι τῶν θ ἑξκαιδεκάτων· ἑξκαιδεκάκις γὰρ 〈τὸ ὑπ’ αὐτῶν〉 ποιοῦσι δυ θ μο ἐννέα, οὔσης καὶ ἑκάστης τῶν δυ μονάδος μιᾶς. A4. | |
137 | Ἤτοι τὰ ρμδ σνϛʹ προσλαβόντα τὴν μονάδα, ἤτοι τὰ σνϛ σνϛʹ, γίνονται τετράγωνοι ὧν πλευραί εἰσι τετράγωνοι, ἤτοι κ ιϛʹ. A4. | |
138 | 〈Ἔστιν οὖν ὁ ὑπ’ αὐτῶν ↑ τοῦ δευτέρου〉 δύναμις μία. Ὀφείλει δὲ ἡ δύναμις εἶναι ιϛʹ ἀπὸ πλευρᾶς δʹ· οὕτω γὰρ ὁ ὑπ’ αὐτῶν ἔσται κε ιϛʹ, ἵνα ἀφαιρεθείσων μονάδων ιϛ δηλονότι ιϛʹ καταλειφθήσεται τετράγωνος. Τὸ δὲ πάντα ἑξκαιδεκάκις οὕτως. Ἀναλυθείσης μιᾶς ἑκάστης τῶν κε· μονάδων εἰς ιϛʹ, | |
| 5 | καὶ πολλαπλασιασθείσων πασῶν μετὰ τῆς δυνάμεως ἥτις ἦν ιϛʹ, γίνονται δυνάμεις κε, ἐχούσης μιᾶς ἑκάστης ιϛ ιϛʹ. Κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ λείψεις. 〈Δυνάμεισ〉 ἄρα κε ϟ η ἴσαι δυ μιᾷ μονάσι μα. Καὶ ἀφαιρεθείσης τῆς μιᾶς δυνάμεως ἀπὸ τῶν κε, καταλείπονται δυ κδ. Ἐπεὶ δὲ μία ἑκάστη τῶν δυνάμεων ιϛ ιϛʹ, γίνονται αἱ κδ δυ ἴσαι μονάσι κδ, καὶ ἀφαιρεθέντων ἐξ ἑκάστου μέρους | |
| 10 | ἴσων, καταλείπονται μο ιζ ἴσαι ϟ η, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς ὁ ιζ ὄγδοα. Ὁ ἄρα | |
| τῶν τετραγώνων εἷς σπθ, ὁ δὲ λοιπός, καθ’ ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐλέχθη, ἔσται ρ ἀπὸ πλευρᾶς ι ὀγδόων· ἐπεὶ γὰρ τῶν κε δυ ὧν μία ἑκάστη ιϛ ἦν ιϛʹ, πλευραὶ ἦσαν ε δʹ. Εὑρέθη δὲ ὁ ἀριθμὸς ιζ ὄγδοα. Ἔσται ὁ λοιπὸς ε δʹ τῶν η· τὰ δὲ ε δʹ τῶν η, ι ὄγδοα. Ὁ ὑπ’ αὐτῶν δύο μυριάδες ͵η ἐνακόσια | 700 | |
| 15 | τετρακισχιλιοστοενενηκοστόεκτα. ↑ γοῦν ρ ξδʹ, ἅτινα ἀναλύονται εἰς ͵ϛυ τετρακισχιλιοστοενενηκοστόεκτα, γίνεται δύο μυριάδες ͵βφ τοιούτου μορίου, καὶ ἔστι τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς 〈ρν〉 ξδʹ. Ἀφαιρεθέντων δὲ τῶν σπθ ἀναλυθέντων εἰς μυριάδα ͵ηυϞϛ 〈τετρακισχιλιοστοενενηκοστόεκτα,〉 καταλεί‐ πεται μυριὰς υδ μορίου τοιούτου, καὶ ἔστι τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς 〈ρβ ξδʹ.〉 | |
| 20 | A5. | |
139 | 〈Ἔστιν οὖν ὁ μὲν εἷς ὁ τεθεὶς δύο, δύο ϟοί. Πολλαπλασιασθέντεσ〉 οὖν ποιοῦσι δ δυ. Ὡσαύτως καὶ ὁ τεθεὶς τριῶν, τρεῖς ϟοί. Πολλαπλασιασθέντες οὖν οὗτοι πρὸς ἑαυτοὺς ποιοῦσι δυ θ. Καί εἰσιν ἀμφότεροι ιγ δυ γινόμεναι ἀπὸ πολλαπλασιασμοῦ ϟ α 〈καὶ ϟ ιγ. Αἱ〉 ἄρα δυνάμεις προσλαβοῦσαι τὰς ὑπὸ | |
| 5 | τῶν β καὶ τῶν τριῶν ϟῶν δυνάμεις δίς, ἤτοι δυ ιβ, ποιοῦσι τετράγωνον. Ἀλλὰ καὶ αἱ ιγ δυνάμεις τεθεῖσαι γίνεσθαι ἀπὸ ϟοῦ α καὶ ιγ προσλαβοῦσαι συναμφοτέρους, ἤτοι ιδ ϟούς, ποιήσουσι τετράγωνον. Ἴσαι ἄρα δυ ιβ ϟοῖς ιδ. Πάντα παρὰ ἀριθμόν. ϟοὶ ἄρα ιβ ἴσοι μονάσι ιδ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς ιδ δωδέκατα, ἤτοι ζ ϛʹ. Ἔσται οὖν ὁ εἷς ζ ϛʹ· ὁ δὲ ἕτερος, ἐπεὶ ιγ ϟῶν ὑπετέθη, | |
| 10 | ἔσται Ϟα· τρισκαιδεκάκις γὰρ τὰ ζ ϛʹ, Ϟα. A5. | |
140 | Τὸ ἀπὸ τοῦ πεντηκοστοεβδόμου τρισχιλιοστοδιακοσιοστοτεσσαρακοσ‐ τοέννατον. A3. | |
141 | Δῆλον ὡς ἡ σύνθεσις τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων μετὰ τοῦ δὶς ὑπ’ αὐ‐ τῶν συνάγουσα δυ λϛ ποιεῖ τετράγωνον ἀπὸ πλευρᾶς ἓξ ϟῶν. Καὶ πάλιν ἀπὸ τῆς συνθέσεως τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ἀφαιρουμένου τοῦ δὶς ὑπ’ αὐτῶν γίνεται τετράγωνος αἱ τέσσαρες δυνάμεις ἀπὸ πλευρᾶς δύο ϟῶν. Τάσσω οὖν τὸν ὑπ’ | |
| 5 | αὐτῶν δυ κ. Τετάχθω οὖν ὃς μὲν ϟῶν β, ὃς δὲ ι ϟῶν, καὶ γίνεται ὁ ὑπ’ αὐτῶν 〈δυ〉 κ. Δυνάμεις ἄρα κ ἐάν τε προσλάβωσι δυ ιϛ, ἐάν τε λείψωσι, 〈ποιοῦσι〉 τετράγωνον. Δεῖ ἄρα 〈ταύτας τὰς δυ ιϛ〉 ἴσας τῷ συναμφοτέρῳ. Ἀλλὰ συναμφότερος ϟοὶ ιβ. Δυνάμεις ἄρα ιϛ ἴσαι εἰσὶν 〈ϟοῖς ιβ.〉 Πάντα παρὰ ἀριθμόν. ϟοὶ ἄρα ιϛ ἴσοι μο ιβ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς ιβ ιϛʹ, τουτέστι γ δʹ. 〈Ὁ | |
| 10 | μὲν εἷς τῶν〉 ϟῶν ἐτάχθη ϟῶν β· ἔσται ϛ δʹ. Ὁ δὲ ἕτερος ταχθεὶς ϟῶν ι ἔσται λ δʹ. Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς 〈προτάσεως.〉 A5. | |
142 | ϟοὶ ἄρα θ ἴσοι μο ζ· ἔσται ἄρα ὁ ἀριθμὸς ζ θʹ. A5. | |
143 | Ὁ ἀπὸ τοῦ πρώτου τετράγωνός ἐστι δυ μιᾶς ϟ β μο α. ↑ οὖν τοῦ δευτέρου, ἤτοι ϟῶν β μο α, γίνεται δυ μία, τουτέστι τετράγωνος. A5. | |
144 | Τὸ λῆμμα τοιοῦτόν ἐστιν. Ἐὰν ϟὸς μετρῆται ὑπό τινων, λάβωμεν δὲ καὶ τὸν καθ’ ὃν μετρεῖται, καὶ ἀπὸ τοῦ μείζονος τούτων λάβωμεν τὸν ἐλάσσονα, ὁ ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ λοιποῦ προσλαβὼν τὸν ἐξ ἀρχῆς, ἤτοι τὸν μετρούμενον ὑπό | |
| γε τοῦ μετροῦντος καὶ τοῦ καθ’ ὃν μετρεῖται, ποιεῖ τετράγωνον. Οἷον ὡς ἐν | 701 | |
| 5 | παραδείγματι ϟὸς ὁ ϛ μετρεῖται ὑπὸ τοῦ τρία καὶ τοῦ καθ’ ὃν μετρεῖται τοῦ δύο. Ἐὰν οὖν ἀφέλω τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἤτοι τὸν β ἀπὸ τοῦ τρία, καταλείπεται α. 〈Ὁ ἀπὸ〉 τοῦ ἡμίσεος τοῦ ἑνός, ὅπερ ἐστὶ τὸ τέταρτον, προσλαβὼν 〈τὸν ἐξ ἀρχῆς, ἤτοι τὸν ϛ, ποιεῖ τετράγωνον·〉 ὁ γὰρ ϛ 〈δʹ τετράγωνόσ〉 ἐστιν ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ 〈β 𐅵ʹ.〉 A5. | |
145 | Ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ 〈μείζονος,〉 ἐκβληθέντος τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν, ἤτοι τῶν φπη λϛʹ, ἔστι λη 𐅵ʹ. A4. | |
146 | Ὁ 〈γὰρ〉 ϛ δʹ τετράγωνος λείψει μὲν τῶν δ μο γίνεται μο β δʹ τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ α 𐅵ʹ· λείψει δὲ τῶν ϛ μο γίνεται τέταρτον τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ 𐅵ʹ. A2. | |
147 | Ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Λοιποὶ ϟ ϛ ἴσοι μο θ, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς μο α 𐅵ʹ. Ταῖς οὖν ϛ μο προστιθέμενος ὁ μο ϛ δʹ τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ β 𐅵 γίνεται ιβ δʹ τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ γ 𐅵ʹ· ταῖς δὲ ιδ. γίνεται ὁ κ δʹ τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ δ 𐅵ʹ. A2. | |
148 | A propos du mot τετραγώνων (p. 2, 18). Πᾶς ϟὸς ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος τετράγωνος γίνεται. A7. | |
149 | A propos du mot δυναμοδυνάμεων (p. 4, 1). Οἷον ὁ δ τετράγωνός ἐστιν ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ β. Ἐὰν τοίνυν ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθῇ, ποιήσει τὸν ιϛ, καὶ λέγεται ὁ ιϛ δυναμοδύναμις ἐπειδὴ ἐκ τετραγώνου ἐγένετο τοῦ δ ἐφ’ ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος, διὸ καὶ δυναμοδύναμις | |
| 5 | λέγεται. Δύναμις μὲν γὰρ αὐτὸς πρῶτος ὁ δ, καὶ ἑτέρα δὲ αὖθις δύναμις ὁ γενόμενος ἐξ αὐτοῦ. Ἀλλὰ καὶ τὸν ιϛ τετράγωνον ὄντα ἐκ πλευρᾶς τοῦ δ εἴ τις πολλαπλασιάσῃ ἐφ’ ἑαυτὸν ὡς γενέσθαι σνϛ, καὶ οὗτος ὁ ϟὸς δύναμις. A7. | |
150 | A propos du mot δυναμοκύβων (p. 4, 3). Οἷον τετράγωνος ὁ δ. Οὗτος 〈πολυπλασιάζεται〉 ἐπὶ τὸν η (ὅστις η ἐστι κύβος συνεστὼς ἔκ τε τοῦ δ καὶ ἐκ τῆς πλευρᾶς τοῦ δ, οἷον τῆς 〈δυάδοσ〉) Ἐὰν τοίνυν τὸν δ τετράγωνον ἐπὶ 〈τὸν〉 κύβον ἀπὸ 〈τῆσ〉 αὐτῆς αὐτῷ | |
| 5 | πλευρᾶς γεγονότος 〈πολλαπλασιάσῃσ〉, γενήσεται ὁ λβ ὅστις 〈ἐστι δυναμόκυβοσ〉. A7. | |
151 | A propos du mot κυβοκύβων (p. 4, 6). Δυναμόκυβός ἐστιν ὁ λβ ἐπειδὴ γίνεται ἔκ τε τοῦ δ δυνάμεως, ἤτοι ϟα τετραγώνου, καὶ τοῦ η κύβου. Ἐὰν τοίνυν τοῦτον τὸν ϟὸν τὸν λβ δηλονότι | |
| πολλαπλασιάσῃ ἀριθμὸς ὁ β πλευρὰ τῆς ἐξ ἀρχῆς δυνάμεως, ἤτοι τοῦ δ, | 702 | |
| 5 | γενήσεται ὁ ξδ, ὅστις ἐστὶ κυβόκυβος ἐπειδὴ γίνεται ἐκ κύβου τοῦ η ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθέντος. A7. | |
152 | A propos du mot κύβος (p. 4, 17). Ἐκ τετραγώνου, ὡς εἴρηται, ἐπὶ τὴν οἰκείαν πλευρὰν πολυπλασιασθέντος. Οἷον ὁ η· τετράκις γὰρ δύο, η. 〈Οἷον〉 ϟὸς ὁ δ πολυπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν 〈ιϛ〉 δύναμιν λεγόμενον, τετράγωνον ὄντα, ποιήσει τὸν ξδ κύβον. A7. | |
153 | A propos du mot δυναμοδύναμις (p. 4, 20). Οἷον ὁ ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ δ 〈γίνονται ιϛ〉. Οἷον ἀριθμὸς ὁ β ἐπὶ τὸν η κύβον πολλαπλασιασθεὶς ποιήσει 〈τὸν〉 ιϛ δυναμοδύναμιν λεγόμενον ἅτε δὴ γεγονότα μὲν ἀπὸ δυνάμεως δηλαδὴ τετραγώνου ϟοῦ τοῦ δ ἀποτελέσαντος πάλιν | |
| 5 | δύναμιν ἑτέραν, ἤτοι τετράγωνον ϟὸν αὑτὸν δηλονότι, ἤτοι τὸν ιϛ. A7. | |
154 | A propos du mot δυναμόκυβος (p. 4, 25). Οἷον ὁ λβ· τετράκις γὰρ τὰ η γίνονται λβ. A7. | |
155 | A propos du mot κυβόκυβος (p. 6, 2). Οἷον ὁ ξδ· ὀκτάκις γὰρ τὰ η γίνονται ξδ. A7. | |
156 | A propos de l’abréviation ϟ (p. 6, 5). Ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τό τε 𐅶. A7. | |
157 | A propos du mot ὀνομασίας (p. 6, 25). Ἄρξομαι δὲ πρότερον ἀπὸ μονάδος. Ἰστέον τοίνυν ὅτι μονάδες ἐπὶ μονάδας πολυπλασιασθεῖσαι 〈μονάδασ〉 ποιοῦσι. Μονὰς δὲ ἢ μονάδες ἐφ’ ὁποιονοῦν εἶδος τῶν προειρημένων ἀριθμῶν πολυπλασιασθεῖσαι, ἢ ἐν τῷ πλήθει ἢ πλείονες, | |
| 5 | τὸ μὲν 〈εἶδοσ〉 τοῦ ἀριθμοῦ τὸ αὐτὸ φυλάττουσι, τό γε μὴν πλῆθος οὐ τὸ αὐτὸ ἀεί, ἀλλ’ εἰ μὲν μία ἐστὶν ἡ μονὰς ἡ τὸ τῶν ἀριθμῶν πλῆθος πολυπλασιάζουσα, τὸ αὐτὸ καὶ αὖθις φυλάττει, εἰ δὲ μονάδες, πολυπλασιάζεται καὶ τὸ πλῆθος· αἱ γὰρ μιᾶς πλείους μονάδες ἀριθμοί εἰσιν. A7. | |
158 | A propos du mot πολυπλασιασθεὶς (p. 8, 1). Κἂν αὐτὸς ἐφ’ ἑαυτὸν πολυπλασιασθῇ, κἂν ἐφ’ ἕτερον. Οἷον τρὶς τρεῖς, θ, τρὶς τέσσαρα, ιβ. A7. | |
159 | A propos du mot κύβον (p. 8, 3). Ἀριθμὸς ὁ δ ἐπὶ τὸν ιϛ ποιεῖ τὸν ξδ κύβον. Οἷον τετράκις ιϛ, ξδ, καὶ δὶς η, ιϛ. A7. | |
160 | A propos du mot δυναμοδύναμιν (p. 8, 4). Δυναμοδύναμιν ἐλέγομεν τὸν ιϛ ϟὸν τετράγωνον ἀπὸ δυνάμεώς τινος. Οἷον, τετραγώνου ὄντος τοῦ δ, γενόμενον καὶ πάλιν δύναμιν, ἤτοι τετράγωνον, τὸν ιϛ ποιήσαντα τοῦτον ὁ β ϟὸς πολλαπλασιάσας ποιήσει τὸν λβ ὃς ἦν καὶ κύβος, | |
| 5 | ἐπειδὴ ἀπὸ τοῦ τετράκις η ἐγένετο, καὶ δυναμόκυβος, ἐπειδὴ ὁ δ δύναμις ἐπὶ κύβον τὸν η 〈πολυπλασιασθεὶσ〉 ποιήσει 〈τὸν λβ〉. A7. | |
161 | A propos du mot δυναμόκυβον (p. 8, 6). | |
| Οἷον δὶς τὰ ιϛ γίνεται λβ. A7. | 703 | |
162 | A propos du mot κυβόκυβον (p. 8, 6). Ἐπὶ τὸν λβ πολλαπλασιασθεὶς ὁ β ποιήσει τὸν ξδ. A7. | |
163 | A propos du mot δύναμιν (p. 8, 7). Κἂν ἑαυτὸν πολυπλασιάζῃ ὁ τετράγωνος, ὡς τετράκις τέσσαρα, κἂν ἄλλον. ὡς τὰ τετράκις δεκαέξ. Οἷον δύναμις ὁ δ τετράγωνος. A7. | |
164 | A propos du mot δυναμόκυβος (p. 8, 8). 〈Οἷον δύναμις ὁ δ καὶ〉 κύβος ὁ η. Ἐξ ὧν πολυπλασιασθέντων γίνεται ὁ λβ δυναμόκυβος. A7. | |
165 | A propos du mot κυβόκυβον (p. 8, 9). Οἷον ὁ δ δύναμις ἐπὶ δυναμοδύναμιν τὸν ιϛ πολυπλασιασθεῖσα ποιήσει τὸν ξδ κυβόκυβον ὑπάρχοντα. A7. | |
166 | A propos du mot κυβόκυβον (p. 8, 10). Κύβος ἐπὶ κύβον, κἄν τε ἐφ’ ἑαυτόν, κἄν τε ἐπὶ ἄλλον πολλαπλασιασθεὶς κυβόκυβον ποιήσει. Οἷον κύβος ὁ η ἐφ’ ἑαυτὸν ποιήσει τὸν ξδ κυβόκυβον· κύβος ὁ η ἐπὶ τὸν λβ ποιήσει τὸν σνϛ κυβόκυβον καὶ αὐτὸν οὗ πλευρά ἐστι τὰ ιϛ. A7. | |
167 | A propos de la phrase Πᾶς—ποιεῖ (p. 8, 11—12). Οἷον ὁ δέκα ἀριθμὸς πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸ δέκατον ποιήσει μονάδα· δεκάκις γὰρ τὸ δέκατον δέκα δέκατα, ἤτοι εἷς ἀριθμός, μονὰς δηλαδὴ ἣν 〈ποιεῖ〉 τὰ δέκατα. Ἢ καὶ οὕτως· δεκάκις τὸ δέκατον, δέκα, καὶ ἅπαξ τὰ | |
| 5 | δέκα, δέκα. A7. | |
168 | A propos de la phrase Τῆς—ἔσται (p. 8, 13—15). Ἤτοι τέταρτον, πέμπτον καὶ τὸ δέκατον· ἅπαξ γὰρ τὸ τέταρτον, πάλιν τέταρτον, ἅπαξ τὸ ἕκτον, ἕκτον, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. A7. | |
169 | A propos des mots ἐφ’ ἑαυτὰ (p. 8, 16). Ἢ καὶ ἐπ’ ἄλλα, ἐπείτοιγε καὶ ἀριθμὸς ἐφ’ ἑαυτὸν ἢ ἐπ’ ἄλλον πολλαπλασιαζόμενος δύναμιν ποιεῖ. Οἷον δὶς δύο, τέσσαρα, δύναμις, τρὶς τρεῖς, θ, δύναμις, καὶ ἐφεξῆς. Ἐνταῦθα γὰρ τὰ 〈μὲν β〉 ἀριθμός, τὰ δὲ τέσσαρα | |
| 5 | δύναμις τὰ γενόμενα. A7. | |
170 | ἐλάσσων μείζων συνάμφω [Start of a diagram]δοθεὶς ϟὸς ρ ϟοῦ α ϟοῦ α μο μ ϟοὶ β μες μ διελεῖν εἰς δύο μονάδες ἄρα ρ ἴσαι εἰσιν ϟοῖς ὥστε ὑπερέχειν δυσὶ μονάσι τεσσαράκοντα. | |
| 5 | μο μ. λοιπαὶ μο ξ ϟοἱ β[End of a diagram] Ἕκαστος ἄρα γίνεται μῶν λ. Ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. Ἔσται ὁ μὲν ἐλάττων μῶν λ, ὁ δὲ μείζων ο. | |
| Καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά, ὅτι ὑπερέχει ὁ ο τὸν λ τεσσαράκοντα. A7. | 704 | |
171 | A propos des mots ἀριθμὸν ... (p. 16, 24) ἀριθμοὺς ... (p. 16, 24—25) λόγῳ ... (p. 16, 25) ἀριθμοὺς ... (p. 16, 26) ἐλάσσων ... (p. 18, 1). ϟα ... (p. 18, 1) μείζων ... (p. 18, 2) ἐλάσσονος ... (p. 18, 2) δύο ... (p. 18, 3) ἄρα δ ... (p. 18, 5) alt. ϟ ... (p. 18, 5) ἀριθμὸν ... (p. 18, 8) ἀριθμοὺς ... (p. 18, | |
| 5 | 8) ἀριθμοὺς ... (p. 18, 10) μείζων ... (p. 18, 11) ἐλάττονος ... (p. 18, 11) ϟα ... (p. 18, 12). ϟγ ... (p. 18, 12) δύο ... (p. 18, 14) δύο ... (p. 18, 15) εἰσι δ ... (p. 18, 15) ἄρα δ ... (p. 18, 16) ὁμοίων ... (p. 18, 17) ὅμοια ... (p. 18, 17) δ... (p. 18, 18) alt. ... (p. 18, 18). | |
| 10 | Ἤτοι τὸν ξ ... ὡς νῦν εἰς με καὶ ιε ... ἐν τριπλασίονι ... εἰς με καὶ εἰς ιε ... ἤτοι ὁ ιε ... ἤτοι πεντεκαιδεκάδος μιᾶς ... ὁ με ... τοῦ ιε ... ὁ μείζων καὶ ὁ ἐλάττων ... ἤτοι πεντεκαιδεκάδες τέσσαρα ... ἤτοι τὸ δʹ ... ἤτοι τὸν π ... εἰς ξα καὶ ιθ ... 〈εἰσ〉 ξα καὶ ιθ ... ὁ ξα ... τοῦ ιθ ... ἤτοι ἐννεακαιδεκάδος μιᾶς ... ἤτοι ἐννεακαιδεκάδες τρεῖς ... ἤτοι τὸν μείζονα καὶ 〈τὸν ἐλάττονα〉 ... ὁ | |
| 15 | μείζων καὶ ὁ ἐλάττων ... ἤτοι τέσσαρες ἐννεακαιδεκάδες ... ἤτοι ἐννεακαιδεκά‐ δες 〈δ〉 ... ἤτοι ὀγδοήκοντα μονάδων ... ἤτοι τέσσαρας μονάδας ... ἤτοι ἐννεακαιδεκάσι ... τὸ τέταρτον. A7. | |
172 | [Start of a diagram]π ϟα ϟγ μῶν δ ϟδ καὶ μονάδες δ μονάδες ἄρα π ἴσαι εἰσὶν ϟοῖς τέσσαρσιν καὶ μονάσι τέσσαρσι. λοιπαὶ μονάδες οϛ ϟοὶ δ[End of a diagram] | |
| 5 | ἴσαι εἰσὶν ἀριθμοῖς τέσσαρσιν Ἕκαστον ἄρα τῶν τεταρτημορίων γίνεται ἀριθμὸς μο 〈ιθ〉. Ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις, ἤτοι πρόσθες τῷ μείζονι ἀριθμῷ καὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς τέσσαρας μονάδας, ἤτοι ὧν 〈ὑπερεῖχε〉, καὶ γίνεται ὁ μὲν μείζων μῶν ξα, ὁ δὲ ἐλάττων ιθ, καὶ γέγονε τὸ ἐπιταχθέν· ὁ γὰρ ξα πρὸς τῷ εἶναι τοῦ ιθ τριπλασίων, | |
| 10 | ἔτι 〈καὶ τέσσαρσι〉 μονάσιν ὑπερέχει. A7. | |
173 | Τίνος χάριν εἶπε λείψει μονάδων τριακοσίων ἐμοὶ δοκεῖ ἐπεὶ ἐφ’ ὑποθέσεως εἰπὼν ὅτι τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσιν. Ἡ λεῖψις, ἤτοι τὰ τ, κοινὴ οὖσα τοῖς ἀριθμοῖς ἐνταῦθα οὐ λέγω κατὰ τὴν ποσότητα ἀλλὰ κατὰ τὸ ὄνομα μόνον· εἴρηται γὰρ ἄνωθεν μὲν λείψει ἀριθμῶν κ, ἐνταῦθα δὲ | |
| 5 | λείψει μονάδων τ. 〈Ἐπεὶ〉 ἦν ἡ λεῖψις τὰ τ, προσκείσθω τῷ μείζονι ἀριθμῷ, ἤτοι τοῖς ρκ, ὁμοῦ υκ. Ἰστέον ὅτι δύο λείψεις ἐνταῦθα ὑποκεῖνται, μία μὲν αἱ τ μονάδες ἐν οἷς ἔλεγεν ὁ τεχνίτης, ὅτε γίνονται ἀριθμοὶ τρεῖς λείψει μονάδων τ (ἔχομεν λοιπὴν μίαν λεῖψιν), ἑτέρα δὲ αἱ μονάδες κ, ὅτε ἔλεγεν ὁ τεχνίτης λοιπὸς ϟὸς εἷς λείψει | |
| 10 | μονάδων κ. Κοινὴ οὖν προσκείσθω ἡ λεῖψις, ἤτοι αἱ τ μονάδες τοῖς τρισὶν ϟοῖς οἷς ἦσαν λείψεις, καὶ αἱ 〈κ μονάδεσ〉 τῷ ἑνὶ ϟῷ οὗ ἦσαν λείψεις. Λοιποὶ ϟοὶ τρεῖς ἴσοι ἀριθμῷ ἑνὶ καὶ μσι π, καὶ τὰ λοιπά. Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια, ἤτοι ἀπὸ τῶν ῥηθέντων τριῶν ϟῶν εἷς ἀριθμός. Λοιποὶ δύο ϟοί. Ἀπὸ ἀριθμοῦ ἑνὸς καὶ μονάδων σπ ἀφῃρήσθω εἷς ϟός. | 705 |
| 15 | Ἀπέμεινε καὶ σπ. Ἐναπολειφθέντες δύο ἀριθμοὶ ἴσοι εἰσὶ μσι σπ. Ὑποκειμένου ἀριθμοῦ τοῦ ρμ, ἂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ, λοιπαὶ μονάδες μ, ἐὰν δὲ τὸν κ ἀφέλω, λοιπαὶ μονάδες ρκ, καί εἰσι τὰ μείζονα, ἤτοι τὰ ρκ, τῶν ἐλασσόνων τῶν μ τριπλάσια. 〈Δεῖ〉 ἀφελεῖν τὸν ρ δῆλον καὶ ἰδεῖν τὸ 〈λειπόμενον〉 καὶ θεῖναι αὐτὸ | |
| 20 | ὅρον 〈ἐλάσσονα〉, εἶτα πάλιν συνθέμενον 〈μονάδασ〉, ἤτοι τὸν ἀφαιρεθέντα τὸν ρ 〈καὶ τὸν〉 ἐλάσσονα ὅρον τὸν καταλειφθέντα, 〈τὸν κ〉 ἀφελεῖν καὶ τὸν δεύτερον 〈ὅρον θεῖναι, ἤτοι τὸν〉 ρκ, καὶ ἰδεῖν τί γίνεται ὁ ρκ τοῦ 〈ὅρουσ〉 ἐλάσσονος, ἤτοι τοῦ μ, τριπλασίων δηλονότι. A7. | |
174 | Ἔστω πρότερον μείζων μὲν ἀριθμὸς ὁ τῶν μονάδων ρ λείψει ἀριθμοῦ ἑνός, ἐλάττων δὲ ὁ ϟοῦ ἑνὸς καὶ μονάδων κ. Ταῦτα τετράκις. Γίνονται ἀριθμοὶ τέσσαρες, ἢ τετράς, καὶ μονάδες π. Ἀριθμοὶ ἄρα τέσσαρες καὶ μονάδες π ἴσοι εἰσὶ μονάσιν ἑκατὸν λείψει ἀριθμοῦ ἑνός. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ | |
| 5 | ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἴσων ἴσα. Ἀριθμοὶ ἄρα πέντε ἴσοι εἰσὶ μονάσιν εἴκοσι, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς μονάδων τεσσάρων. Ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. Ἔταξα τὸν προστιθέμενον καὶ ἀφαιρούμενον ἀφ’ ἑκατέρου ἀριθμοῦ ἑνός· ἔσται μονάδων τεσσάρων. Κἂν μὲν τῷ κ προστεθῶσι μονάδες τέσσαρες, γίνονται μονάδες κδ· ἐὰν δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῶσι μονάδες τέσσαρες, λοιπαὶ μονάδες Ϟϛ. Καὶ μένει τὰ | |
| 10 | μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα τετραπλάσια. Ἀλλὰ δὴ ἔστω μείζων ὁ τοῦ ἀριθμοῦ ἑνὸς καὶ μονάδων εἴκοσιν, ἐλάσσων δὲ ὁ τῶν μονάδων ρ λείψει ἀριθμοῦ ἑνός. Ταῦτα τετράκις. Γίνονται μονάδες υ λείψει ἀριθμῶν τεσσάρων, εἶτα τὸ ἐφεξῆς. Ἐπεὶ εἴρηκεν ὅτι ὑποκείσθω μείζων ὁ τοῦ ἀριθμοῦ ἑνὸς 〈καὶ〉 μονάδων κ, ἐλάσσων δὲ ὁ τῶν ρ 〈λείψει ἀριθμοῦ ἐνόσ〉, | |
| 15 | ἰστέον ὅτι ἐπεὶ ταῖς μὲν κ μονάσι πρόσεστι καὶ ἀριθμὸς εἷς, ἀπὸ δὲ τῶν ρ μονάδων λείπει ἀριθμὸς εἷς, ἡ δὲ τοῦ ἀριθμοῦ ὑπόστασις μονάδων ἐστὶ οϛ, διὰ τοῦτο μείζονα μὲν τὰ ἐν οἷς ἐστιν ὕπαρξις ἀριθμοῦ, ἐλάττονα δὲ τὰ ἐν οἷς ἐστι λεῖψις. A7. | |
175 | Ἐὰν γὰρ συντεθῶσι μονάδες τ λείψει ἀριθμῶν ϛ μετὰ ϟῶν ϛ λείψει μῶν ς, μονάδας ρ ποιήσουσιν αἵπερ εἰσὶ τῆς ὅλης διαιρέσεως τοῦ μείζονος καὶ ἐλάσσονος ἀριθμοῦ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἴσων ἴσα. Ἀριθμοὶ ἄρα κε ἴσοι εἰσὶ μονάσιν ἐννεακοσίαις. A7. | |
176 | 〈Ἕκαστον〉 ἀπὸ τῶν τεθέντων ἀριθμῶν, ἤτοι 〈τῶν〉 ιε καὶ ε καὶ κε, ἐπιτάττοντες 〈λέγομεν γενέσθαι〉 κ λ μ 〈ὁμοῦ〉 ἐννενήκοντα, 〈ὥστε〉 τοίνυν τῶν Ϟ 〈τὸ〉 ἥμισυ, ἤτοι τὰ 〈με〉, μεῖζόν ἐστιν ἑκάστου τῶν τεθέντων | |
| ϟῶν, ἤτοι τοῦ ιε καὶ ε καὶ κε. A7. | 706 | |
177 | Γίνεται ἄλλως. Τούτοις προστεθέντος καὶ τοῦ τρίτου, γίνονται οἱ τρεῖς ὁμοῦ διπλασίονες τοῦ τρίτου καὶ ἔτι ὑπερέχοντες μονάδων κ. Ἐὰν γὰρ ἀφαιρεθῶσιν αἱ κ μονάδες τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει ὁ αος καὶ ὁ βος τοῦ τρίτου, ἴσος ἔσται ὁ πρῶτος καὶ ὁ δεύτερος ὁμοῦ συντεθέντες 〈τῷ〉 τρίτῳ· τούτοις δὲ | |
| 5 | προστεθεὶς καὶ ὁ τρίτος διπλασίονες ἔσονται οἱ τρεῖς ὁμοῦ τοῦ τρίτου. A7. | |
178 | Γίνεται ἄλλως. Ὁ πρῶτος καὶ ὁ τρίτος συντεθέντες ἀριθμοὺς ποιοῦσι δύο λείψει μονάδων ε. Ταῦτα ἴσα μονάσιν ξε. Ὁ γὰρ δεύτερος μονάδων ἐτάχθη κε· προστιθεμένων δὲ καὶ τῶν μ μονάδων τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχουσιν αὐτοῦ ὁ 〈πρῶτοσ〉 καὶ ὁ τρίτος, γίνονται μονάδες 〈ξε〉. A7. | |
179 | Ὧν ἐπεὶ ὁ δος ἐτάχθη ἀριθμοῦ ἑνός, λοιπὸς ἄρα ὁ γος ἔσται μονάδων λε λείψει ἀριθμοῦ ἑνός. Ἀλλὰ καὶ ὁ δεύτερος καὶ ὁ τρίτος ὁμοῦ ἐτάχθησαν μονάδων κε, ὧν ἑπεὶ ὁ τρίτος μονάδων ἐστὶ λε λείψει ἀριθμοῦ ἑνός, λοιπὸς ἄρα ὁ βος ἔσται ἀριθμοῦ ἑνὸς λείψει μονάδων δέκα. A7. | |
180 | Κείμενον. Ἐπιτετάχθω πάλιν τὸν μέγιστον ὑπερέχειν τοῦ μέσου τῷ τοῦ ἐλαχίστου γω μέρει, τὸν δὲ μέσον τοῦ ἐλαχίστου τῷ τοῦ μεγίστου τρίτῳ μέρει, τὸν δὲ ἐλάχιστον ὑπερέχειν τοῦ γου μέρους τοῦ μέσου 〈μο ι〉. A7. | |
181 | Κείμενον. Ὁ ἄρα δεύτερος δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ δʹ μο α, λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ αου τὸ γʹ ϟοῦ α, γίνεται ϟοῦ α μο γ. Δεήσει ἄρα καὶ τὸν αον δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ γʹ ϟοῦ α, λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ γου τὸ εʹ, γίνεσθαι ϟοῦ α μο γ. Ἀλλὰ δοὺς μὲν ϟὸν α λοιποὺς ἔχει ϟοὺς β. Δεήσει ἄρα λαβόντα αὐτὸν τὸ τοῦ γου εʹ γίνεσθαι ϟοῦ α | |
| 5 | μο γ. Μονάδες ἄρα γ λείψει ϟοῦ α εʹ μέρος εἰσὶ τοῦ γου. Αὐτὸς ἄρα ἔσται 〈μο ιε λείψει ϟῶν ε〉. A7. | |
182 | Δεῖ δὴ τῶν ἐπιτασσομένων ἀριθμῶν, ἤτοι τοῦ η καὶ τοῦ ιβ, ὁμοῦ κ, τὸν τετράγωνον τὸν γινόμενον ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ συνθέματος, ἤτοι τὸν ρ ϟὸν ὅστις γίνεται ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ συνθέματος, ἤτοι τοῦ ι (οὗτος γάρ ἐστι τὸ 𐅵ʹ τοῦ συνθέματος, ἤτοι τοῦ κ), δεῖ τοίνυν τὸν ρ ὑπερέχειν τοῦ Ϟϛ ϟῷ τετραγώνῳ τῷ δ. | |
| 5 | A7. | |
183 | Τουτέστι παραβεβλήθωσαν παρὰ ἀριθμὸν καὶ γεγονέτωσαν δὲ καὶ αἱ δυνάμεις πρὸς τοὺς ϟοὺς οὕτως ὡς ὁ ϟὸς πρὸς τὴν μονάδα (ὃν γὰρ λόγον ἔχει ἡ δύναμις πρὸς τὸν ϟὸν ἀφ’ οὗ πολλαπλασιασθέντος γέγονε, τὸν αὐτὸν ἔχει ὁ ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα). | |
| 5 | Ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ ὑποδείγματος σαφὲς γένηται τὸ λεγόμενον, ἔστω μονὰς καὶ ἀριθμὸς οἷς δήποτε τυχὸν ὁ ε πενταπλασίων εἰς τοίνυν 〈τὴν μονάδα〉. Ὁ ε ἐφ’ ἑαυτὸν ποιεῖ τὸν κε τετράγωνον. Καὶ δῆλόν ἐστιν ὡς ὁ κε πρὸς τὸν ε οὕτως ὡς ὁ ε πρὸς τὴν μονάδα· πενταπλάσιοι γὰρ ἀμφότεροι. Καὶ διὰ τοῦτο ὅσων ἐστὶν ἡ δύναμις 〈πρὸς τὸν ἀριθμόν, τοσούτων καὶ ὁ ἀριθμὸς πρὸς τὴν | |
| 10 | μονάδα〉. A7. | |
184 | Ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ιβ τετράγωνός ἐστιν ρμδ, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ϛ τετράγωνός ἐστιν λϛ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν ἐλάττονα μο ρη, ἤτοι δυνάμεις | |
| τρεῖς, τουτέστιν ὁ ϟὸς τετράγωνος τρεῖς ἀνὰ λϛ. A7. | 707 | |
185 | Οἱ δύο ϟοί εἰσιν οὗτοι ϛ 𐅵ʹ καὶ δ 𐅵ʹ ὧν ὑπεροχὴ μο β. Ὁ ἀπὸ τοῦ ϛ 𐅵ʹ πλευρᾶς τετράγωνος ϟὸς γίνεται μβ δʹ· ὁ ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ δ 𐅵ʹ ϟοῦ γίνεται κ δʹ· Ὑπεροχαὶ δὲ τούτων τῶν τετραγώνων εἰσὶ μο κβ. Δεῖ τοίνυν τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ϟόν, ἤτοι καθ’ ὑπόθεσιν τὸν ιϛ, ἐλάττονα εἶναι | |
| 5 | συναμφοτέρων, ἤτοι αὐτῆς τε τῆς πρώτης ὑπεροχῆς, ἤτοι τῶν β μο, καὶ τῶν κ μονάδων ὑπεροχῆς οὔσης τῶν ἀπὸ τοῦ δ 𐅵ʹ καὶ ϛ 𐅵ʹ τετραγώνων, ἤτοι ἐλάττονα εἶναι τὸν τετράγωνον τῶν κβ μων. Καὶ μένει ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν μο β, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνων ϟοὶ δ μο δ. A7. | |
186 | Εἰς τὸ ιαʹ θεώρημα τοῦ βου. Διὰ τί ἔλαβε μονάδας τέσσαρας καὶ μονάδος δʹ τὰ ποιοῦντα τὴν ὑπεροχήν, ἤτοι μονάδα μίαν, 〈καὶ〉 οὐχὶ μονάδας τρεῖς καὶ μονάδος τρίτον (καὶ ταῦτα γὰρ κἀκεῖνα πολλαπλασιαζόμενα μονάδα μίαν ποιοῦσι); Διότι τὸ 𐅵ʹ 〈τῆς ὑπεροχῆσ〉 τούτων, ἤτοι τῶν τριῶν | |
| 5 | μονάδων καὶ μονάδος τρίτου, ὅπερ ἐστὶ τέσσαρα τρίτα, πολλαπλασιασθὲν ἐφ’ ἑαυτὸ καὶ 〈γεγονὸσ〉 ιϛ ἐννάτων οὐκ ἀπαρτίζει δύο μονάδας τελείας. Πῶς οὖν εὑρεθήσεται ἡ τοῦ ἀριθμοῦ ὑπόστασις, ἐπεὶ οὐκ ἔστιν οὔτε μὴν δύο μονάδας ἀφαιρεθῆναι ἀπὸ τῶν ιϛ ἐννάτων, οὔτε τι 〈καταλειφθῆναι〉 ὅπερ 〈ἐστὶν ἡ〉 τοῦ ϟοῦ ὑπόστασις; Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ἡμίσεος τῆς συνθέσεως τὸ αὐτὸ | |
| 10 | ἄτοπον προβαίνει. Εἰκότως ἄρα ἔλαβε μονάδας τέσσαρας καὶ μος δʹ εἰς τὸ εὑρεῖν τὴν τοῦ ἀριθμοῦ ὑπόστασιν. A7. | |
187 | Ὄπισθεν ἀπὸ τοῦ ιβʹ τοῦ βου. Καὶ γίνεται ὁ ϟὸς τεσσάρων ὀγδόων. Συνάγουσι τοίνυν αἱ μὲν θ μονάδες οβ ὄγδοα, ἤτοι φοϛ ξδʹ, ἡ δὲ λεῖψις τῆς δυνάμεως μιᾶς, τουτέστιν τῶν ιϛ ἑξηκοστοτετάρτων, ἥτις γέγονεν ἀπὸ τῶν τεσσάρων ὀγδόων πολλαπλασιασθέντων ἐφ’ ἑαυτά. Ἀφαιρεῖται ἀπὸ τῶν φοϛ | |
| 5 | ξδων ιϛ ξδα, καὶ καταλείπονται φξ ἑξηκοστοτέταρτα. Ἀφαιρουμένων δὲ ἐξ ἀντιστρόφου τῶν φξ ξδων ἀπὸ τῶν μο θ, ἤτοι τῶν φοϛ ξδων, καταλείπονται ιϛ ξδα ἅτινά εἰσι τετράγωνος. Αἱ δὲ κα μονάδες συνάγουσιν ὁμοίως ͵ατμδ ξδα Ἀφαιρουμένων δὲ καὶ ἀπ’ αὐτῶν τῶν θ μων ↑ δυ α, τουτέστι τῶν φξ ξδων, καταλείπονται ψπδ ξδα τετράγωνος καὶ οὗτος ϟὸς ἀπὸ πλευρᾶς ἐχούσης κη ηα. | |
| 10 | Ἔσται ἄρα ὁ ἀφαιρούμενος ἀπό τε τῶν θ μων καὶ ἀπὸ τῶν κα καὶ ποιῶν τοὺς λοιποὺς τετραγώνους, φξ ξδα, καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. A7. | |
188 | Εἰς τὸ ιδʹ τοῦ βου. Πῶς ἑκατέρῳ τῶν ἀριθμῶν τῷ τε τῶν ξη δεκάτων καὶ τῷ τῶν ρλβ δεκάτων προστιθέμενος ὁ τετράγωνος, ἤτοι τὰ μθ ρα, ποιεῖ τετράγωνον; Ἀναλύονται τὰ ξη ια εἰς ἑκατοστὰ χπ. Τούτοις προστίθενται καὶ τὰ μθ ἑκατοστά, καὶ γίνονται ὁμοῦ ψκθ ἑκατοστά, 〈ὅς ἐστι〉 τετράγωνος | |
| 5 | ἀριθμὸς ἀπὸ πλευρᾶς κζ ιων. Ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ρλβ δέκατα ἀναλύονται εἰς ἑκατοστὰ ͵ατκ. Τούτοις προστίθενται καὶ τὰ μθ ἑκατοστά, καὶ γίνονται ὁμοῦ ͵ατξθ ἑκατοστά, ὅς ἐστι τετράγωνος 〈ἀριθμὸς ἀπὸ πλευρᾶς λζ〉 δεκάτων. A7. | |
189 | Κείμενον. Αὐτὸς ἄρα ὁ τετράγωνος ἔσται δυνάμεων τεσσάρων μο θ ↑ ϟ ιβ. Ταῦτα ἴσα δυνάμεσι τρισὶν ϟοῖς ιη μονάσιν θ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ | |
| ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἴσων ἴσα. Λοιπὴ ἄρα δύναμις μία ἴση ἀριθμοῖς λ. A7. | 708 | |
190 | Κείμενον. Ταῦτα ἴσα δυ δ ϟοῖς ε μο α. Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. Δυνάμεις ἄρα δ καὶ μο δ ἴσαι εἰσὶ δυ δ ϟοῖς ιγ μο α. Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἴσων ἴσα. μο ἄρα γ ἴσαι εἰσὶν ϟοῖς ιγ. Τὸ λοιπὸν τῆς ἑξῆς τοῦ κου 〈θεωρήματοσ〉 τοῦ βου. Γίνεται δὲ οὕτως. Τὰ γ | |
| 5 | ιγα 〈ἐφ’ ἑαυτὰ〉 γίνεται θ ρξθα. Ἀναλυθέντα καὶ τὰ ιθ ιγα εἰς ἑκατοστοεξηκοστοέννατα 〈γίνονται〉 σμζ ρξθα, καὶ γίνονται ὁμοῦ σνϛ ρξθα ἀπὸ πλευρᾶς ιϛ ιγων. Πάλιν τὰ ιθ ιγα ἐφ’ ἑαυτὰ ποιοῦσι τξα ρξθα, καὶ τὰ γ ιγα ἀναλυθέντα εἰς ρξθα ποιοῦσι λθ ρξθα, καὶ γίνονται ὁμοῦ ρξθα υ τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς 〈ιγων κ〉. A7. | |
191 | Τὰ β 𐅵ʹ τετραγωνιζόμενα ποιοῦσι ϛ δʹ ὧν ἐὰν ἀφέλῃς τὰ ϛ λοιπὸν δʹ ὅπερ ἐστὶ τετράγωνος ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος (ἥμισυ 〈ἐπὶ〉 γὰρ τὸ ἥμισυ, δʹ). Τὰ δὲ γ 𐅵ʹ τετραγωνιζόμενα ποιοῦσι ιβ δʹ ὧν ἐὰν ἀφέλῃς τὰ ϛ, λοιπὸς τετράγωνος ϛ δʹ. A7. | |
192 | Εἰς τὸ κηʹ θεώρημα τοῦ βου βιβλίου. 〈Ἐπεὶ ὁ ἀριθμὸσ〉 ζ κδων ἐστίν, ἡ δύναμις ἄρα ἔσται μθ φοϛων. Καὶ ἐπεὶ πάλιν ὁ ἕτερος 〈ιϛων〉 ἦν θ ἀπὸ πλευρᾶς τριῶν τετάρτων, 〈ἦσαν〉 πλευρὰ τούτου τὰ τρία τέταρτα τῶν κδων, ἤτοι τὰ ιη 〈κδων〉, ἃ καὶ εἰς ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι τκδ φοϛʹ, ὁ δὲ ὑπ’ αὐτῶν | |
| 5 | α̈ ͵εωοϛ λγ̈ ͵αψοϛʹ, προσλήψει δὲ τῶν μθ φοϛων ἀναλυθέντων καὶ τούτων εἰς τὰ αὐτὰ μόρια καὶ γενομένων β̈ ͵ησκδ λγ̈ ͵αψοϛων, γίνεται ὁ ὅλος δ̈ δρ τοιαῦτα 〈μόρια ὅσ〉 ἐστι τετράγωνος πλευρὰν ἔχων τὰ σι φοϛα. Πάλιν τὰ α̈ ͵εωοϛ τοιαῦτα μόρια προσλαβόντα τὰ τκδ φοϛʹ ἀναλυθέντα καὶ ταῦτα εἰς τοιαῦτα μόρια καὶ γεγονότα ϊη ͵ϛχκδ, γίνεται ὁ ὅλος κ̈ καὶ ͵βφ τοιαῦτα μόρια, καὶ ἔστι | |
| 10 | καὶ οὗτος τετράγωνος ἀπὸ πλευρᾶς υν φοϛων. A7. | |
193 | Εἰς τὸ κθʹ θεώρημα τοῦ βου βιβλίου. Ἑξκαιδεκάκις 〈οὕτωσ〉 γίνεται. Ἀναλύεται ἑκάστη τῶν κε μονάδων εἰς ιϛ ιϛα, καὶ πολλαπλασιαζο‐ μένων πασῶν μετὰ τῆς δυνάμεως ἥτις ἦν ιϛ ιϛων, γίνεται δυνάμεις κε (〈ἔχουσα〉 μία ἑκάστη ιϛ ιϛα). Καὶ μετὰ ταῦτα κοινῆς προστεθείσης τῆς | |
| 5 | λείψεως, γίνονται δυνάμεις κε ϟ η ἴσαι δυνάμει μιᾷ μο μα. 〈Ἐπεὶ〉 δὲ μία ἑκάστη τῶν δυνάμεων ιϛ ιϛων ἐστίν, αἱ κδ δυνάμεις ἴσαι εἰσὶ μονάσιν κδ, καὶ ἀφαιρουμένων ἐξ ἑκατέρου μέρους, καταλείπονται μες ιζ ἴσαι ἀριθμοῖς η, καὶ γίνεται ὁ ἀριθμὸς ιζ ηων. Ὁ ἄρα τῶν τετραγώνων εἷς ἔσται σπθ ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ιζ ηων, ὁ δὲ λοιπὸς ρ ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ι ηων. Ἐπεὶ γὰρ τῶν κε | |
| 10 | δυνάμεων, μιᾶς ἑκάστης ιϛ ιϛων οὔσης, ἑκάστη πλευρὰ πέντε δων ἦν, εὑρέθη δὲ ὁ ἀριθμὸς ιζ ηων, ἔσται ἄρα ὁ λοιπὸς πέντε δα τῶν 〈ηων〉· τὰ δὲ πέντε δα τῶν ηων δέκα ὄγδοά εἰσι. A7. | |
194 | Ἐάν τε γὰρ ἀπὸ τῶν πέντε δυνάμεων, ὅς ἐστιν ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν τριῶν ἀριθμῶν, ἀφέλω τὸν ἀπὸ τοῦ αου τετράγωνον, ὅς ἐστι δυνάμεως α, ὁ | |
| λοιπὸς ἔσται δυνάμεων δ φανερόν, ὅ τι καὶ τετράγωνος. Καὶ 〈πάλιν〉 ἐὰν ἀπὸ τῶν αὐτῶν ἀφέλω τὸν ἀπὸ τοῦ δευτέρου, ὅς ἐστι δυνάμεις δ, ὁ λοιπὸς ἔσται | 709 | |
| 5 | δυνάμεως μιᾶς, ἤτοι τετράγωνος. A7. | |
195 | A propos du mot τετραγώνῳ (p. 146, 7). Κείμενον. Ἀπὸ ϟοῦ ἑνὸς μος α. Αὐτὸς ἄρα ὁ τετράγωνος ἔσται δυνάμεως μιᾶς ϟ β μο α. A7. | |
196 | A propos du mot τετραγώνῳ (p. 148, 5). Τινὶ ἀφ’ οὗ μονάδος ἀφαιρεθείσης ὁ λοιπὸς μετρεῖται ὑπὸ ϟοῦ τινος ἑξάκις. A7. | |
197 | A propos du mot ὑπεροχῇ (p. 152, 3). Τόν τε ϡ ξα ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ λα, καὶ τὸν ͵αχπα ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ μα, καὶ τὸν ͵βυα ἀπὸ πλευρᾶς τοῦ μθ νῦν δέον εὑρεῖν. A7. | |
198 | A propos des valeurs δυ α ϟ ϛ μο ϛ (p. 154, 9). Κείμενον. Ἵνα ὁμοίως καὶ οὗτοι 〈προσλαβόντες μο〉 γ ποιῶσι τετράγωνον. καὶ ἔτι. A7. | |
199 | Κείμενον. Ἔσται ὁ ὑπὸ αου καὶ βου ↑ τοῦ γου ποιῶν τετράγωνον. Δεήσει ἄρα τὸν ὑπὸ βου καὶ γου ↑ τοῦ αου ποιεῖν τετράγωνον, καὶ ἔτι τὸν ὑπὸ γου καὶ αου ↑ τοῦ βου ποιεῖν τετράγωνον. A7. | |
200 | A propos de la phrase ἵνα—ἐπιταγμάτων (p. 170, 2). Ἔστι γὰρ ὁ ὑπὸ πρώτου καὶ δευτέρου δυ δ ϟ δ οἳ προσλαβόντες τὸν ἀπὸ τοῦ γου μο ὄντα α ποιοῦσι τετράγωνον· ἔστι γὰρ δυ δ ϟ δ μο α ἀπὸ πλευρᾶς ϟ β μο α. Καὶ ὁ ὑπὸ βου καὶ γου ϟ δ μο δ οἳ προσλαβόντες τὸν ἀπὸ τοῦ αου δυ ὄντα α ποιοῦσι | |
| 5 | τετράγωνον· ἔστι γὰρ δυ 〈α〉 ϟ δ μο δ ἀπὸ πλευρᾶς ϟ α μο β. A7. | 710 |